Jika diketahui 90<a<180 dan tan a=-2, tentukan nilai cos

-7√5 / 10

Pembahasan

Soal ini meminta untuk menentukan nilai dari ekspresi $\cos a - 1/(\sin a)$ berdasarkan informasi tentang sudut $a$.

Diketahui:
90° < $a$ < 180°
$\tan a = -2$

Langkah 1: Tentukan kuadran sudut $a$.
Karena 90° < $a$ < 180°, maka sudut $a$ berada di Kuadran II.

Langkah 2: Gunakan informasi $\tan a = -2$ untuk mencari nilai $\sin a$ dan $\cos a$.
Dalam Kuadran II:
- $\sin a$ bernilai positif
- $\cos a$ bernilai negatif
- $\tan a$ bernilai negatif

Kita tahu bahwa $\tan a = \frac{\sin a}{\cos a}$.
Kita juga bisa menggunakan identitas $\tan^2 a + 1 = \sec^2 a$. 
$\sec a = 1 / \cos a$
$\sec^2 a = (-2)^2 + 1 = 4 + 1 = 5$
$\\sec a = \pm \sqrt{5}$
Karena $a$ di Kuadran II, $\cos a$ negatif, sehingga $\sec a$ juga negatif.
$\sec a = -\sqrt{5}$

Karena $\sec a = 1 / \cos a$, maka $\cos a = 1 / \sec a = 1 / (-\sqrt{5}) = -1 / \sqrt{5}$.
Untuk merasionalkan penyebutnya: $\cos a = -\frac{1}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5}$.

Sekarang kita cari $\sin a$. Kita bisa menggunakan $\tan a = \sin a / \cos a$.
$\sin a = \tan a \times \cos a$
$\sin a = (-2) \times (-\frac{\sqrt{5}}{5})$
$\sin a = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.

Periksa apakah nilai $\sin a$ positif, yang sesuai dengan Kuadran II. Ya, $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ adalah positif.

Langkah 3: Substitusikan nilai $\sin a$ dan $\cos a$ ke dalam ekspresi yang diminta.
Ekspresi yang diminta adalah $\cos a - 1/(\sin a)$.

$\cos a = -\frac{\sqrt{5}}{5}$
$\sin a = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\frac{1}{\sin a} = \frac{1}{\frac{2\sqrt{5}}{5}} = \frac{5}{2\sqrt{5}}$
Untuk merasionalkan penyebutnya:
$\frac{5}{2\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}}{2*5} = \frac{5\sqrt{5}}{10} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

Jadi, ekspresi menjadi:
$\cos a - \frac{1}{\sin a} = (-\frac{\sqrt{5}}{5}) - (\frac{\sqrt{5}}{2})$

Untuk menjumlahkan/mengurangi pecahan ini, samakan penyebutnya. KPK dari 5 dan 2 adalah 10.
$= -\frac{\sqrt{5}}{5} \times \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \times \frac{5}{5}$
$= -\frac{2\sqrt{5}}{10} - \frac{5\sqrt{5}}{10}$
$= \frac{-2\sqrt{5} - 5\sqrt{5}}{10}$
$= \frac{-7\sqrt{5}}{10}$

Jadi, nilai dari $\cos a - 1/(\sin a)$ adalah $-\frac{7\sqrt{5}}{10}$.