Jika diketahui limit x->0 (ax sin x+b)/(cos x-1)=1, maka

Nilai a adalah -1/2 dan b adalah 0.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital karena jika kita substitusikan x = 0, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0 atau ∞/∞.
Limit: lim (x->0) (a*x*sin(x) + b) / (cos(x) - 1) = 1

Ketika x -> 0, sin(x) -> 0 dan cos(x) -> 1.
Agar penyebut (cos(x) - 1) mendekati 0, pembilang (a*x*sin(x) + b) juga harus mendekati 0.
Jika x -> 0, maka a*x*sin(x) -> 0. Jadi, agar pembilang menjadi 0, b harus bernilai 0.

Sekarang kita punya: lim (x->0) (a*x*sin(x)) / (cos(x) - 1) = 1

Gunakan aturan L'Hopital (turunkan pembilang dan penyebut):
d/dx (a*x*sin(x)) = a * (1*sin(x) + x*cos(x)) = a*sin(x) + a*x*cos(x)
d/dx (cos(x) - 1) = -sin(x)

Jadi, limitnya menjadi: lim (x->0) (a*sin(x) + a*x*cos(x)) / (-sin(x)) = 1

Substitusikan x = 0 lagi:
(a*sin(0) + a*0*cos(0)) / (-sin(0)) = (a*0 + 0) / 0 = 0/0. Ini masih bentuk tak tentu.

Mari kita gunakan aturan L'Hopital lagi:
d/dx (a*sin(x) + a*x*cos(x)) = a*cos(x) + a*(1*cos(x) + x*(-sin(x))) = a*cos(x) + a*cos(x) - a*x*sin(x) = 2a*cos(x) - a*x*sin(x)
d/dx (-sin(x)) = -cos(x)

Jadi, limitnya menjadi: lim (x->0) (2a*cos(x) - a*x*sin(x)) / (-cos(x)) = 1

Substitusikan x = 0:
(2a*cos(0) - a*0*sin(0)) / (-cos(0)) = 1
(2a*1 - 0) / (-1) = 1
2a / -1 = 1
-2a = 1
a = -1/2

Jadi, nilai a = -1/2 dan b = 0.