Jika diketahui x=sin a+sin b dan y= cos a-cos b, maka nilai

Nilai terbesar dari $x^2+y^2$ adalah 4, yang tercapai ketika $a+b = \pi + 2k\pi$ untuk sembarang bilangan bulat k.

Pembahasan

Diketahui $x = \sin a + \sin b$ dan $y = \cos a - \cos b$.
Kita ingin mencari nilai terbesar dari $x^2+y^2$.

Mari kita hitung $x^2$ dan $y^2$:
$x^2 = (\sin a + \sin b)^2 = \sin^2 a + 2 \sin a \sin b + \sin^2 b$
$y^2 = (\cos a - \cos b)^2 = \cos^2 a - 2 \cos a \cos b + \cos^2 b$

Sekarang, jumlahkan $x^2$ dan $y^2$:
$x^2 + y^2 = (\sin^2 a + \sin^2 b) + (\cos^2 a + \cos^2 b) + 2 \sin a \sin b - 2 \cos a \cos b$
$x^2 + y^2 = (\sin^2 a + \cos^2 a) + (\sin^2 b + \cos^2 b) + 2(\sin a \sin b - \cos a \cos b)$

Menggunakan identitas $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$:
$x^2 + y^2 = 1 + 1 + 2(\sin a \sin b - \cos a \cos b)$
$x^2 + y^2 = 2 + 2(\sin a \sin b - \cos a \cos b)$

Menggunakan identitas $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$, maka $-(\cos a \cos b - \sin a \sin b) = -\cos(a+b)$.
Jadi, $x^2 + y^2 = 2 - 2\cos(a+b)$.

Untuk mencari nilai terbesar dari $x^2+y^2$, kita perlu memaksimalkan $2 - 2\cos(a+b)$. Nilai maksimum dari ekspresi ini terjadi ketika $-\cos(a+b)$ adalah maksimum, yang berarti $\cos(a+b)$ adalah minimum.

Nilai minimum dari fungsi kosinus adalah -1.
Jadi, nilai terbesar dari $x^2+y^2$ adalah $2 - 2(-1) = 2 + 2 = 4$.

Nilai terbesar ini tercapai ketika $\cos(a+b) = -1$.
Ini terjadi ketika $a+b = \pi + 2k\pi$, di mana $k$ adalah bilangan bulat.