Jika f(x)=1+sin x+sin^2 x+sin^3 x+ .... 0 <= x <= pi/4,

sqrt(2)

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu mengidentifikasi bahwa deret f(x) = 1 + sin x + sin^2 x + sin^3 x + ... adalah sebuah deret geometri tak hingga dengan suku pertama a = 1 dan rasio r = sin x. Jumlah deret geometri tak hingga adalah S = a / (1 - r).

Maka, f(x) = 1 / (1 - sin x).

Selanjutnya, kita perlu menghitung integral dari f(x) dari 0 hingga pi/4:
Integral(0 hingga pi/4) [1 / (1 - sin x)] dx

Untuk menyelesaikan integral ini, kita dapat mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat dari penyebut, yaitu (1 + sin x):
Integral(0 hingga pi/4) [(1 + sin x) / ((1 - sin x)(1 + sin x))] dx
= Integral(0 hingga pi/4) [(1 + sin x) / (1 - sin^2 x)] dx
= Integral(0 hingga pi/4) [(1 + sin x) / cos^2 x] dx
= Integral(0 hingga pi/4) [1/cos^2 x + sin x/cos^2 x] dx
= Integral(0 hingga pi/4) [sec^2 x + tan x sec x] dx

Integral dari sec^2 x adalah tan x, dan integral dari tan x sec x adalah sec x.
Jadi, hasil integralnya adalah [tan x + sec x] dievaluasi dari 0 hingga pi/4.

Evaluasi pada batas atas (pi/4):
tan(pi/4) + sec(pi/4) = 1 + sqrt(2)

Evaluasi pada batas bawah (0):
tan(0) + sec(0) = 0 + 1 = 1

Hasil integral = (1 + sqrt(2)) - 1 = sqrt(2).