Jika f(x)=akar(x+1) dan g(x)=1/(x^2-1), maka daerah asal

Daerah asal fungsi komposisi gof adalah [-1, 0) U (0, ∞).

Pembahasan

Untuk menentukan daerah asal fungsi komposisi gof(x) = g(f(x)), kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1.  **Tentukan daerah asal f(x) = akar(x+1)**:
    Agar akar kuadrat terdefinisi, ekspresi di dalamnya harus non-negatif. Jadi, x+1 >= 0, yang berarti x >= -1. Daerah asal f(x) adalah [-1, ∞).

2.  **Tentukan daerah asal g(x) = 1/(x^2-1)**:
    Agar fungsi rasional terdefinisi, penyebutnya tidak boleh nol. Jadi, x^2 - 1 ≠ 0, yang berarti x^2 ≠ 1, sehingga x ≠ 1 dan x ≠ -1. Daerah asal g(x) adalah semua bilangan real kecuali -1 dan 1, atau dalam notasi himpunan: R - {-1, 1}.

3.  **Tentukan bentuk fungsi komposisi gof(x) = g(f(x))**:
    gof(x) = g(akar(x+1))
    gof(x) = 1 / ((akar(x+1))^2 - 1)
    gof(x) = 1 / (x+1 - 1)
    gof(x) = 1 / x

4.  **Tentukan daerah asal fungsi komposisi gof(x)**:
    Agar gof(x) terdefinisi, ada dua syarat yang harus dipenuhi:
    a.  x harus berada dalam daerah asal f(x), yaitu x >= -1.
    b.  f(x) harus berada dalam daerah asal g(x). Artinya, f(x) tidak boleh sama dengan -1 atau 1.
        *   f(x) ≠ -1
            akar(x+1) ≠ -1 (Ini selalu benar karena akar kuadrat menghasilkan nilai non-negatif)
        *   f(x) ≠ 1
            akar(x+1) ≠ 1
            Kuadratkan kedua sisi: x+1 ≠ 1
            x ≠ 0

    Selain itu, dari bentuk hasil komposisi gof(x) = 1/x, kita juga tahu bahwa penyebutnya tidak boleh nol, yaitu x ≠ 0.

    Menggabungkan semua syarat:
    *   x >= -1
    *   x ≠ 0

    Jadi, daerah asal fungsi komposisi gof adalah semua bilangan real x sedemikian sehingga x >= -1 dan x ≠ 0. Dalam notasi interval, ini adalah [-1, 0) U (0, ∞).