Jika f(x)=(sin x-cos x)/sin x, maka f'(1/3 pi)=....

4/3

Pembahasan

Untuk mencari turunan dari \(f(x) = \frac{\sin(x) - \cos(x)}{\sin(x)}\), kita dapat menyederhanakan fungsi terlebih dahulu atau menggunakan aturan hasil bagi (quotient rule).

Metode 1: Menyederhanakan fungsi terlebih dahulu
\(f(x) = \frac{\sin(x)}{\sin(x)} - \frac{\cos(x)}{\sin(x)}\")
\(f(x) = 1 - \cot(x)\")

Sekarang cari turunan dari \(f(x) = 1 - \cot(x)\").
Turunan dari 1 adalah 0.
Turunan dari \(-\cot(x)\") adalah \(-(-\csc^2(x)) = \csc^2(x)\").
Jadi, \(f'(x) = \csc^2(x)\").

Sekarang evaluasi \(f'(x)\") pada \(x = \frac{\pi}{3}\"):
\(f'(\frac{\pi}{3}) = \csc^2(\frac{\pi}{3})\")
Kita tahu bahwa \(\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\"), sehingga \(\csc(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\sin(\frac{\pi}{3})} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}\").
\(f'(\frac{\pi}{3}) = (\frac{2}{\sqrt{3}})^2 = \frac{4}{3}\")

Metode 2: Menggunakan aturan hasil bagi
Jika \(f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}\), maka \(f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2}\").
Di sini, \(u(x) = \sin(x) - \cos(x)\") dan \(v(x) = \sin(x)\").
Maka, \(u'(x) = \cos(x) - (-\sin(x)) = \cos(x) + \sin(x)\") dan \(v'(x) = \cos(x)\").

\(f'(x) = \frac{(\cos(x) + \sin(x))(\sin(x)) - (\sin(x) - \cos(x))(\cos(x))}{(\sin(x))^2}\")
\(f'(x) = \frac{\cos(x)\sin(x) + \sin^2(x) - (\sin(x)\cos(x) - \cos^2(x))}{\sin^2(x)}\")
\(f'(x) = \frac{\cos(x)\sin(x) + \sin^2(x) - \sin(x)\cos(x) + \cos^2(x)}{\sin^2(x)}\")
\(f'(x) = \frac{\sin^2(x) + \cos^2(x)}{\sin^2(x)}\")
Karena \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\"), maka:
\(f'(x) = \frac{1}{\sin^2(x)} = \csc^2(x)\")

Evaluasi \(f'(x)\") pada \(x = \frac{\pi}{3}\"):
\(f'(\frac{\pi}{3}) = \csc^2(\frac{\pi}{3}) = (\frac{2}{\sqrt{3}})^2 = \frac{4}{3}\")

Jadi, \(f'(1/3 \pi) = \frac{4}{3}\").