Jika f(x)=(x-2)/(3x+4), g(x)=(ax+b)/(cx+d), serta(f o

g(x) = (15x + 3) / 4

Pembahasan

Untuk menentukan formula fungsi g(x), kita perlu menggunakan konsep komposisi fungsi.
Diketahui f(x) = (x-2)/(3x+4) dan g(x) = (ax+b)/(cx+d).
Komposisi fungsi (f o g)(x) berarti kita mensubstitusikan g(x) ke dalam f(x).
(f o g)(x) = f(g(x)) = (g(x)-2)/(3g(x)+4)
Substitusikan g(x) = (ax+b)/(cx+d):
(f o g)(x) = [((ax+b)/(cx+d))-2] / [3((ax+b)/(cx+d))+4]
= [(ax+b-2(cx+d))/(cx+d)] / [(3(ax+b)+4(cx+d))/(cx+d)]
= (ax+b-2cx-2d) / (3ax+3b+4cx+4d)
= ((a-2c)x + (b-2d)) / ((3a+4c)x + (3b+4d))

Diketahui juga (f o g)(x) = (3x-1)/(9x+5).
Dengan menyamakan kedua bentuk (f o g)(x), kita dapatkan:
(a-2c)x + (b-2d) = k(3x-1)
(3a+4c)x + (3b+4d) = k(9x+5)

Kita bisa memilih nilai k=1 untuk penyederhanaan awal, namun perhatikan bahwa koefisien harus proporsional.
Misalnya, kita bandingkan koefisien x pada pembilang: a-2c = 3
Bandingkan koefisien x pada penyebut: 3a+4c = 9
Kita bisa selesaikan sistem persamaan linear ini untuk a dan c.
Kalikan persamaan pertama dengan 2:
2(a-2c) = 2(3) => 2a-4c = 6
Jumlahkan dengan persamaan kedua:
(2a-4c) + (3a+4c) = 6 + 9
5a = 15
a = 3
Substitusikan a=3 ke persamaan a-2c=3:
3 - 2c = 3
-2c = 0
c = 0

Sekarang bandingkan konstanta pada pembilang: b-2d = -1
Bandingkan konstanta pada penyebut: 3b+4d = 5
Kalikan persamaan pertama dengan 2:
2(b-2d) = 2(-1) => 2b-4d = -2
Jumlahkan dengan persamaan kedua:
(2b-4d) + (3b+4d) = -2 + 5
5b = 3
b = 3/5
Substitusikan b=3/5 ke persamaan b-2d=-1:
3/5 - 2d = -1
-2d = -1 - 3/5
-2d = -5/5 - 3/5
-2d = -8/5
d = 4/5

Jadi, formula fungsi g(x) adalah g(x) = (3x + 3/5) / (0x + 4/5) = (3x + 3/5) / (4/5).
Untuk menyederhanakannya, kalikan pembilang dan penyebut dengan 5:
g(x) = (15x + 3) / 4.