Jika (fog)(x)=4x^2+8x-3 dan g(x)=2x+4 maka f^-1(x)=...

f^-1(x) = 2 ± √(x + 7)

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu mencari fungsi invers dari f(x). Diketahui (fog)(x) = f(g(x)) = 4x^2 + 8x - 3 dan g(x) = 2x + 4. 
Misalkan y = f(x), maka x = f^-1(y). 
Kita tahu bahwa f(g(x)) = f(2x+4) = 4x^2 + 8x - 3. 
Untuk mencari f(x), kita bisa substitusi g(x) dengan variabel lain, misalnya u = 2x + 4. Maka, x = (u - 4) / 2. 
Substitusikan x ke dalam persamaan f(g(x)): 
f(u) = 4((u - 4) / 2)^2 + 8((u - 4) / 2) - 3 
f(u) = 4((u^2 - 8u + 16) / 4) + 4(u - 4) - 3 
f(u) = u^2 - 8u + 16 + 4u - 16 - 3 
f(u) = u^2 - 4u - 3 
Jadi, f(x) = x^2 - 4x - 3. 
Sekarang kita cari inversnya, f^-1(x). 
Misalkan y = x^2 - 4x - 3. 
Kita ubah bentuknya menjadi kuadrat sempurna: 
y + 3 = x^2 - 4x 
y + 3 + 4 = x^2 - 4x + 4 
y + 7 = (x - 2)^2 
(x - 2)^2 = y + 7 
x - 2 = ±√(y + 7) 
x = 2 ± √(y + 7) 
Karena kita mencari f^-1(x), maka f^-1(x) = 2 ± √(x + 7). 
Namun, perlu diperhatikan domain dari f(x) agar memiliki invers. Jika f(x) = x^2 - 4x - 3, maka puncaknya adalah di x = -(-4)/(2*1) = 2. Untuk memiliki invers, fungsi haruslah satu-satu, yang berarti kita perlu membatasi domainnya, misalnya x >= 2 atau x <= 2. Jika tidak ada pembatasan, maka inversnya tidak unik. 
Asumsikan kita mengambil domain x >= 2 untuk f(x), maka x - 2 >= 0, sehingga f^-1(x) = 2 + √(x + 7). 
Jika kita mengambil domain x <= 2 untuk f(x), maka x - 2 <= 0, sehingga f^-1(x) = 2 - √(x + 7). 
Tanpa informasi tambahan mengenai domain f(x), jawaban yang paling umum adalah f^-1(x) = 2 ± √(x + 7).