Jika fungsi f dan g memiliki invers dan memenuhi

f⁻¹(x) = g⁻¹(2x+10)

Pembahasan

Diketahui fungsi f dan g memiliki invers serta memenuhi hubungan f(2x) = g(x-5).
Untuk mencari f⁻¹(x), kita perlu melakukan beberapa langkah:

1.  Tentukan invers dari fungsi g, yaitu g⁻¹(x).
    Misalkan y = g(x-5).
Maka, x-5 = g⁻¹(y).
Sehingga, x = g⁻¹(y) + 5.
Oleh karena itu, g⁻¹(x) = g⁻¹(x) + 5.

2.  Gunakan hubungan f(2x) = g(x-5).
    Terapkan fungsi invers g⁻¹ pada kedua sisi:
g⁻¹(f(2x)) = g⁻¹(g(x-5))
g⁻¹(f(2x)) = x-5

3.  Sekarang, terapkan fungsi invers f⁻¹ pada kedua sisi:
f⁻¹(g⁻¹(f(2x))) = f⁻¹(x-5)

4.  Kita tahu bahwa f⁻¹(f(y)) = y. Jadi, f⁻¹(g⁻¹(f(2x))) = g⁻¹(2x).
    Maka, g⁻¹(2x) = f⁻¹(x-5).

5.  Untuk mencari f⁻¹(x), kita perlu mengganti variabel.
    Misalkan u = x-5, maka x = u+5.
    Substitusikan ke dalam persamaan g⁻¹(2x) = f⁻¹(x-5):
g⁻¹(2(u+5)) = f⁻¹(u)
g⁻¹(2u+10) = f⁻¹(u)

6.  Jadi, f⁻¹(x) = g⁻¹(2x+10).

Perlu diperhatikan bahwa tanpa mengetahui bentuk eksplisit dari fungsi g, kita hanya bisa menyatakan f⁻¹(x) dalam bentuk g⁻¹.