Jika fungsi kuadrat f(x)=2x^2+8x+c mempunyai nilai minimum

a. $y = -2x^2 + 4x - 14$. b. $x=1$.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu melakukan dua transformasi pada fungsi kuadrat $f(x) = 2x^2 + 8x + c$: rotasi dan translasi.

Langkah 1: Mencari nilai c dari informasi nilai minimum.
Fungsi kuadrat $f(x) = ax^2 + bx + c$ memiliki nilai minimum atau maksimum pada titik puncaknya. Koordinat x dari titik puncak adalah $-b/(2a)$.
Untuk $f(x) = 2x^2 + 8x + c$, $a=2$ dan $b=8$.
Koordinat x dari titik puncak adalah $-8/(2 \times 2) = -8/4 = -2$.
Nilai minimum fungsi adalah $f(-2)$.
Diketahui nilai minimumnya adalah 20, maka $f(-2) = 20$.
$2(-2)^2 + 8(-2) + c = 20$
$2(4) - 16 + c = 20$
$8 - 16 + c = 20$
$-8 + c = 20$
$c = 28$

Jadi, fungsi kuadrat awalnya adalah $f(x) = 2x^2 + 8x + 28$. Titik puncaknya adalah $(-2, 20)$.

Langkah 2: Rotasi oleh R[P(-2,3), theta=180].
Rotasi sebesar 180 derajat terhadap titik P(h, k) akan mengubah koordinat (x, y) menjadi (2h-x, 2k-y).
Dalam kasus ini, P(-2, 3), jadi h=-2 dan k=3.
Titik puncak parabola awal adalah $(-2, 20)$.
Koordinat x' = $2(-2) - (-2) = -4 + 2 = -2$
Koordinat y' = $2(3) - 20 = 6 - 20 = -14$

Titik puncak setelah rotasi adalah $(-2, -14)$.

Perlu diingat bahwa rotasi 180 derajat terhadap titik P juga membalik parabola. Jika parabola asli terbuka ke atas (karena $a=2 > 0$), setelah rotasi 180 derajat, koefisien $a$ akan menjadi negatif.
Koefisien $a'$ setelah rotasi 180 derajat adalah $-a = -2$.

Persamaan parabola setelah rotasi (menggunakan titik puncak $(-2, -14)$ dan $a' = -2$):
$y - y_p = a'(x - x_p)^2$
$y - (-14) = -2(x - (-2))^2$
$y + 14 = -2(x + 2)^2$
$y + 14 = -2(x^2 + 4x + 4)$
$y + 14 = -2x^2 - 8x - 8$
$y = -2x^2 - 8x - 8 - 14$
$y = -2x^2 - 8x - 22$

Langkah 3: Translasi T=(3, 2).
Translasi T=(3, 2) berarti kita menambahkan 3 ke koordinat x dan 2 ke koordinat y.
Jika persamaan parabola setelah rotasi adalah $y = -2x^2 - 8x - 22$, maka setelah translasi:
$x_{baru} = x_{lama} + 3 
ightarrow x_{lama} = x_{baru} - 3$
$y_{baru} = y_{lama} + 2 
ightarrow y_{lama} = y_{baru} - 2$

Ganti $x$ dengan $(x-3)$ dan $y$ dengan $(y-2)$ pada persamaan setelah rotasi:
$y - 2 = -2(x-3)^2 - 8(x-3) - 22$
$y - 2 = -2(x^2 - 6x + 9) - 8x + 24 - 22$
$y - 2 = -2x^2 + 12x - 18 - 8x + 2$
$y - 2 = -2x^2 + 4x - 16$
$y = -2x^2 + 4x - 16 + 2$
$y = -2x^2 + 4x - 14$

Alternatifnya, kita bisa mentranslasikan titik puncaknya terlebih dahulu.
Titik puncak setelah rotasi: $(-2, -14)$.
Setelah translasi T=(3, 2):
Titik puncak baru = $(-2+3, -14+2) = (1, -12)$.
Koefisien $a$ tetap $-2$ karena translasi tidak mengubah orientasi parabola.

Persamaan parabola yang terbentuk:
$y - y_p = a(x - x_p)^2$
$y - (-12) = -2(x - 1)^2$
$y + 12 = -2(x^2 - 2x + 1)$
$y + 12 = -2x^2 + 4x - 2$
$y = -2x^2 + 4x - 2 - 12$
$y = -2x^2 + 4x - 14$

a. Persamaan parabola yang terbentuk adalah $y = -2x^2 + 4x - 14$.

b. Persamaan sumbu simetri parabola yang terbentuk.
Sumbu simetri parabola $y = ax^2 + bx + c$ adalah $x = -b/(2a)$.
Untuk $y = -2x^2 + 4x - 14$, $a=-2$ dan $b=4$.
Sumbu simetri $x = -4 / (2 	imes -2) = -4 / -4 = 1$.

Persamaan sumbu simetri parabola yang terbentuk adalah $x=1$.