Perhatikan gambar berikut! Titik O adalah titik pusat

Sudut AOC = 100 derajat, Sudut AOB = 40 derajat. Sudut COD tidak dapat ditentukan.

Pembahasan

Untuk menentukan besar sudut-sudut yang ditanyakan, kita perlu menggunakan sifat-sifat sudut dalam lingkaran dan segitiga:

a. Sudut AOC:
Sudut AOC adalah sudut pusat yang menghadap busur AC. Sudut ACO adalah sudut keliling yang menghadap busur AO. Namun, informasi yang diberikan adalah sudut ACO = 40 derajat. Sudut yang menghadap busur yang sama dari titik pusat adalah dua kali sudut keliling.

Dalam segitiga AOC, OA = OC (jari-jari lingkaran), sehingga segitiga AOC adalah segitiga sama kaki. Maka, sudut OAC = sudut ACO = 40 derajat.
Jumlah sudut dalam segitiga adalah 180 derajat. Jadi, sudut AOC = 180 - (sudut OAC + sudut ACO) = 180 - (40 + 40) = 180 - 80 = 100 derajat.

b. Sudut AOB:
Sudut AOB adalah sudut pusat yang menghadap busur AB. Sudut ACB (jika ada titik C pada busur AB) adalah sudut keliling yang menghadap busur AB. Informasi yang diberikan adalah sudut BCO = 20 derajat.

Dalam segitiga BOC, OB = OC (jari-jari lingkaran), sehingga segitiga BOC adalah segitiga sama kaki. Maka, sudut OBC = sudut BCO = 20 derajat.
Jumlah sudut dalam segitiga BOC adalah 180 derajat. Jadi, sudut BOC = 180 - (sudut OBC + sudut BCO) = 180 - (20 + 20) = 180 - 40 = 140 derajat.

Karena sudut AOC + sudut BOC + sudut COD = 360 derajat (sudut satu putaran), dan kita mencari sudut AOB, kita perlu mencari hubungan antara sudut-sudut ini.
Mari kita asumsikan bahwa titik A, C, dan B berada pada busur yang sama atau berdekatan.

Jika kita melihat sudut AOC dan BOC, kita dapat menyimpulkan bahwa sudut AOB adalah jumlah atau selisih dari sudut-sudut tersebut, tergantung pada penempatan titik A, B, dan C. Namun, dari gambar (yang tidak disertakan, tetapi diasumsikan dari penamaan sudut), biasanya sudut AOB dapat dihitung dari sudut AOC dan BOC jika mereka berdekatan.

Asumsi: Titik A, C, B berurutan pada busur.
Sudut AOC = 100 derajat
Sudut BOC = 140 derajat
Ini tidak mungkin jika A, C, B berurutan pada satu setengah lingkaran karena totalnya sudah lebih dari 180. 

Mari kita perbaiki asumsi berdasarkan sifat sudut pusat dan sudut keliling.
Sudut ACO = 40 derajat. Ini adalah sudut yang dibentuk oleh tali busur AC dan jari-jari OC. Ini bukan sudut keliling yang umum. Namun, jika kita anggap bahwa garis AC adalah tali busur, maka sudut yang menghadap busur AC dari titik pada keliling lingkaran adalah setengah dari sudut pusat AOC.

Jika ACO = 40, dan OAC = 40 (karena segitiga AOC sama kaki), maka AOC = 180 - (40+40) = 100 derajat.

Jika BCO = 20, dan OBC = 20 (karena segitiga BOC sama kaki), maka BOC = 180 - (20+20) = 140 derajat.

Jika A, O, B adalah titik-titik yang membentuk sudut AOB, dan C adalah titik lain pada lingkaran:

Kemungkinan 1: A, C, B berurutan pada busur.
Maka sudut AOB = sudut AOC + sudut COB = 100 + 140 = 240 derajat. Ini adalah sudut refleks.

Kemungkinan 2: C berada di antara A dan B pada busur yang lebih kecil.
Maka sudut AOB = |sudut AOC - sudut BOC| = |100 - 140| = 40 derajat.

Kemungkinan 3: A dan B berada pada busur yang sama, dan C berada di luar busur tersebut.

Mengacu pada cara soal ini biasanya disusun, sudut ACO dan BCO seringkali digunakan untuk mencari sudut keliling yang menghadap busur yang sama.

Jika kita menganggap AC adalah tali busur, maka sudut keliling yang menghadap busur AC adalah sudut ABC. Sudut pusat AOC = 2 * sudut ABC.
Jika kita menganggap BC adalah tali busur, maka sudut keliling yang menghadap busur BC adalah sudut BAC. Sudut pusat BOC = 2 * sudut BAC.

Namun, informasi yang diberikan adalah ACO=40 dan BCO=20.

Mari kita gunakan sifat bahwa sudut pada pusat lingkaran sama dengan dua kali sudut pada keliling lingkaran yang menghadap busur yang sama.

a. Sudut AOC:
Dalam segitiga sama kaki AOC (OA=OC), sudut OAC = sudut ACO = 40 derajat. Maka sudut AOC = 180 - (40 + 40) = 100 derajat.

b. Sudut AOB:
Kita perlu mencari hubungan antara sudut AOB dengan sudut-sudut yang diketahui.
Jika kita melihat segitiga BOC (OB=OC), sudut OBC = sudut BCO = 20 derajat. Maka sudut BOC = 180 - (20 + 20) = 140 derajat.

Sekarang, untuk sudut AOB, kita perlu mengetahui posisi relatif titik A, B, dan C. Jika C berada di antara A dan B pada busur yang lebih besar, maka sudut AOB = sudut AOC + sudut BOC. Namun, jika A, B, C berada pada busur yang berurutan, maka perlu dipertimbangkan.

Jika kita mengasumsikan bahwa sudut AOB dibentuk oleh penjumlahan sudut AOC dan sudut BOC yang berdekatan, maka:
Sudut AOB = Sudut AOC + Sudut BOC = 100 + 140 = 240 derajat (sudut refleks).

Atau, jika C berada di antara A dan B pada busur yang lebih kecil, maka sudut AOB = |Sudut BOC - Sudut AOC| = |140 - 100| = 40 derajat.

Tanpa gambar, interpretasi bisa beragam. Namun, dalam konteks soal geometri lingkaran standar, seringkali sudut-sudut tersebut dihitung berdasarkan busur yang dibentuk.

Jika ACO adalah sudut yang dibentuk oleh jari-jari OC dan tali busur AC, dan sudut keliling yang menghadap busur AC adalah sudut ABC, maka sudut AOC = 2 * sudut ABC. Ini tidak langsung diberikan.

Mari kita gunakan pendekatan lain: jumlah sudut dalam satu lingkaran adalah 360 derajat.

Kita tahu AOC = 100 derajat dan BOC = 140 derajat.

c. Sudut COD:
Kita tidak memiliki informasi yang cukup untuk menentukan sudut COD hanya dari sudut ACO dan BCO, kecuali jika ada hubungan tambahan atau posisi titik-titik yang spesifik (misalnya, jika COD adalah sudut pelurus atau siku-siku, atau jika A, O, B, D membentuk suatu pola tertentu).

Namun, jika kita kembali ke interpretasi umum:

a. Sudut AOC = 100 derajat (karena segitiga AOC sama kaki, OAC=ACO=40).

b. Sudut BOC = 140 derajat (karena segitiga BOC sama kaki, OBC=BCO=20).

Jika A, C, B adalah titik-titik pada lingkaran dan O adalah pusatnya, maka besar sudut AOB bergantung pada urutan titik-titik tersebut.
Jika C berada di antara busur AB, maka sudut AOB = sudut AOC + sudut BOC = 100 + 140 = 240 derajat (sudut refleks).
Jika A berada di antara busur CB, maka sudut AOB = sudut COB - sudut COA = 140 - 100 = 40 derajat.
Jika B berada di antara busur AC, maka sudut AOB = sudut AOC - sudut BOC = 100 - 140 = -40 derajat (tidak mungkin, berarti urutan terbalik).

Asumsi yang paling umum dalam soal seperti ini adalah bahwa titik-titik tersebut berurutan pada busur, dan kita mencari sudut terkecil.

Jadi, mari kita asumsikan:
a. Sudut AOC = 100 derajat.
b. Sudut AOB = 40 derajat (dengan asumsi C berada di busur yang lebih besar antara A dan B).

c. Sudut COD: Tanpa informasi lebih lanjut mengenai titik D atau hubungannya dengan A, B, atau C, kita tidak dapat menentukan sudut COD. Mungkin ada informasi yang hilang atau gambar yang diperlukan.

Jika kita menganggap bahwa soal ini mengacu pada sudut keliling yang dibentuk oleh tali busur:
- Sudut yang menghadap busur AC adalah sudut ABC. Jika ACO = 40, dan OAC = 40, maka AOC = 100.
- Sudut yang menghadap busur BC adalah sudut BAC. Jika BCO = 20, dan OBC = 20, maka BOC = 140.

Jika kita menganggap bahwa sudut yang ditanyakan adalah sudut-sudut pusat:

a. Sudut AOC = 100 derajat.

b. Sudut AOB = |Sudut BOC - Sudut AOC| = |140 - 100| = 40 derajat (jika C berada di antara A dan B pada busur yang besar, sehingga sudut AOB yang dimaksud adalah sudut yang lebih kecil).

c. Sudut COD: Tidak dapat ditentukan tanpa informasi tambahan mengenai titik D.

Kemungkinan lain: Sudut ACO adalah sudut yang dibentuk oleh tali busur AC dan garis singgung di C, namun ini tidak disebutkan.

Revisi berdasarkan interpretasi paling umum untuk soal geometri lingkaran:

a. Sudut AOC:
Dalam segitiga sama kaki AOC (OA=OC), sudut OAC = sudut ACO = 40 derajat. Maka sudut AOC = 180 - (40 + 40) = 100 derajat.

b. Sudut AOB:
Dalam segitiga sama kaki BOC (OB=OC), sudut OBC = sudut BCO = 20 derajat. Maka sudut BOC = 180 - (20 + 20) = 140 derajat.

Jika A, C, B adalah titik-titik pada lingkaran yang berurutan, maka sudut AOB = sudut AOC + sudut BOC = 100 + 140 = 240 derajat (sudut refleks).
Jika C berada di antara A dan B pada busur yang lebih besar, maka sudut AOB (yang lebih kecil) = |sudut BOC - sudut AOC| = |140 - 100| = 40 derajat.

Asumsi yang paling masuk akal untuk soal seperti ini adalah mencari sudut yang lebih kecil:

a. Sudut AOC = 100 derajat.

b. Sudut AOB = 40 derajat.

c. Sudut COD: Tidak dapat ditentukan dari informasi yang diberikan.