Jika lim _(x -> 2) f(x)=3 , maka lim _(x -> 2)

-2

Pembahasan

Diberikan \( \lim_{x \to 2} f(x) = 3 \). Kita perlu mencari nilai dari:

$ \lim_{x \to 2} \frac{(f(x)-3)((f(x))^{2}-4 f(x)+1)(x+5)}{((f(x))^{2}+f(x)-12)(x-1)} $

Kita substitusikan nilai \( \lim_{x \to 2} f(x) = 3 \) ke dalam ekspresi:

$= \frac{(3-3)((3)^{2}-4(3)+1)(2+5)}{((3)^{2}+3-12)(2-1)}$

$= \frac{(0)(9-12+1)(7)}{(9+3-12)(1)}$

$= \frac{(0)(-2)(7)}{(0)(1)}$

Karena ada bentuk \(0/0\), kita perlu menyederhanakan ekspresi lebih lanjut dengan memfaktorkan penyebut yang mengandung \(f(x)\).

Penyebutnya adalah \(((f(x))^{2}+f(x)-12)\). Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan -12 dan jika dijumlahkan menghasilkan 1. Bilangan tersebut adalah 4 dan -3.

Jadi, \(((f(x))^{2}+f(x)-12) = (f(x)+4)(f(x)-3)\).

Sekarang substitusikan kembali ke dalam limit:

$ \lim_{x \to 2} \frac{(f(x)-3)((f(x))^{2}-4 f(x)+1)(x+5)}{(f(x)+4)(f(x)-3)(x-1)} $

Kita bisa membatalkan \((f(x)-3)\) dari pembilang dan penyebut (karena \(f(x) \to 3\) tetapi \(f(x) \neq 3\) saat \(x \to 2\)):

$ \lim_{x \to 2} \frac{((f(x))^{2}-4 f(x)+1)(x+5)}{(f(x)+4)(x-1)} $

Sekarang substitusikan lagi \( \lim_{x \to 2} f(x) = 3 \) dan \(x=2\):

$= \frac{((3)^{2}-4(3)+1)(2+5)}{(3+4)(2-1)}$

$= \frac{(9-12+1)(7)}{(7)(1)}$

$= \frac{(-2)(7)}{(7)}$

$= -2$

Jadi, hasil limitnya adalah -2.