Jika lim x ->-4 (x^2-16)/(x^2+ax-b)=4/25, maka nilai 2a+b

100

Pembahasan

Kita diberikan limit:
lim x ->-4 (x^2-16)/(x^2+ax-b)=4/25

Ketika x mendekati -4, pembilang (x^2 - 16) mendekati (-4)^2 - 16 = 16 - 16 = 0.
Agar limit memiliki nilai terhingga (4/25), penyebut (x^2 + ax - b) juga harus mendekati 0 ketika x mendekati -4. Ini berarti x = -4 adalah akar dari penyebut.

Substitusikan x = -4 ke dalam penyebut:
(-4)^2 + a(-4) - b = 0
16 - 4a - b = 0
4a + b = 16  (Persamaan 1)

Karena x = -4 adalah akar dari penyebut, maka (x + 4) adalah faktor dari penyebut (x^2 + ax - b). Kita bisa memfaktorkan penyebutnya. Bentuk umum penyebut adalah (x - r1)(x - r2), di mana r1 dan r2 adalah akar-akarnya.
Karena x = -4 adalah salah satu akarnya, penyebut dapat ditulis sebagai (x + 4)(x - r2).

x^2 + ax - b = (x + 4)(x - r2)
x^2 + ax - b = x^2 + (4 - r2)x - 4r2

Dengan membandingkan koefisien:
Koefisien x: a = 4 - r2
Konstanta: -b = -4r2  => b = 4r2

Sekarang, mari kita gunakan informasi limit. Karena pembilang (x^2 - 16) = (x - 4)(x + 4), kita dapat menulis ulang limit:
lim x ->-4 [(x - 4)(x + 4)] / [(x + 4)(x - r2)] = 4/25

Kita bisa membatalkan faktor (x + 4) karena x mendekati -4 tetapi tidak sama dengan -4:
lim x ->-4 (x - 4) / (x - r2) = 4/25

Substitusikan x = -4 ke dalam ekspresi yang tersisa:
(-4 - 4) / (-4 - r2) = 4/25
-8 / (-4 - r2) = 4/25

Untuk menyelesaikan r2, kita bisa melakukan perkalian silang:
-8 * 25 = 4 * (-4 - r2)
-200 = -16 - 4r2
-200 + 16 = -4r2
-184 = -4r2
r2 = -184 / -4
r2 = 46

Sekarang kita punya nilai r2, kita bisa mencari nilai a dan b:
a = 4 - r2 = 4 - 46 = -42
b = 4r2 = 4 * 46 = 184

Mari kita cek apakah nilai a dan b memenuhi Persamaan 1: 4a + b = 16
4(-42) + 184 = -168 + 184 = 16. Persamaan terpenuhi.

Terakhir, kita perlu mencari nilai 2a + b:
2a + b = 2(-42) + 184
2a + b = -84 + 184
2a + b = 100

Jadi, nilai 2a + b adalah 100.