Jika lim x->b (4-akar(a(x+b))/(b-x)=b dengan a<0, b<0 ,

-7

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan limit fungsi aljabar.
Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan aturan L'Hopital karena substitusi langsung akan menghasilkan bentuk tak tentu 0/0.

Misalkan f(x) = 4 - sqrt(a(x+b)) dan g(x) = b-x.
Turunan f(x) terhadap x adalah f'(x) = - (1/2) * (a/(a(x+b)))^(1/2) * a = - (a/2) * (1/sqrt(a(x+b)))
Turunan g(x) terhadap x adalah g'(x) = -1.

Menggunakan aturan L'Hopital:
lim x->b (f'(x)/g'(x)) = lim x->b (- (a/2) * (1/sqrt(a(x+b)))) / -1 = (a/2) * (1/sqrt(a(b+b))) = (a/2) * (1/sqrt(2ab))

Diketahui bahwa limitnya adalah b, maka:
(a/2) * (1/sqrt(2ab)) = b
a / (2 * sqrt(2ab)) = b
a = 2b * sqrt(2ab)
Kuadratkan kedua sisi:
a^2 = 4b^2 * (2ab)
a^2 = 8ab^3
Karena a < 0 dan b < 0, kita bisa membagi kedua sisi dengan a:
a = 8b^3

Sekarang kita memiliki dua persamaan:
1. a = 8b^3
2. a / (2 * sqrt(2ab)) = b
Substitusikan persamaan 1 ke persamaan 2:
8b^3 / (2 * sqrt(2 * (8b^3) * b)) = b
4b^3 / sqrt(16b^4) = b
4b^3 / (4b^2) = b
b = b
Ini menunjukkan bahwa persamaan pertama benar.

Kita perlu menggunakan informasi bahwa lim x->b (4-akar(a(x+b))/(b-x)=b
Dengan menggunakan aturan L'Hopital:
lim x->b [ - (1/2) * (a/(a(x+b)))^(1/2) * a ] / -1 = b
lim x->b [ (a/2) * (1/sqrt(a(x+b))) ] = b
(a/2) * (1/sqrt(a(b+b))) = b
(a/2) * (1/sqrt(2ab)) = b
a / (2 * sqrt(2ab)) = b
a = 2b * sqrt(2ab)
Karena a < 0 dan b < 0, kita bisa mengkuadratkan kedua sisi:
a^2 = 4b^2 * (2ab)
a^2 = 8ab^3
Karena a != 0, kita bisa membagi kedua sisi dengan a:
a = 8b^3

Kembali ke persamaan limit awal, dengan substitusi x=b menghasilkan bentuk 0/0. Maka 4 - sqrt(a(b+b)) = 0.
4 = sqrt(2ab)
16 = 2ab
8 = ab
Karena a<0 dan b<0, ini konsisten.

Substitusikan a = 8/b ke dalam a = 8b^3:
8/b = 8b^3
1 = b^4
Karena b < 0, maka b = -1.

Jika b = -1, maka a = 8/b = 8/(-1) = -8.

Kita perlu memeriksa apakah a < 0 dan b < 0 terpenuhi. Ya, a = -8 dan b = -1.

Sekarang kita hitung a - b:
a - b = -8 - (-1) = -8 + 1 = -7