Jika limit x->0 (akar(a+x)-akar(a-x))/x=b maka limit x->0

a^(1/4)

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal limit ini, kita akan menggunakan aturan L'Hopital karena bentuk limitnya adalah 0/0 jika kita substitusikan x=0 secara langsung.

Misalkan f(x) = akar(a+x) - akar(a-x) dan g(x) = x.
Maka f'(x) = turunan dari (a+x)^(1/2) - (a-x)^(1/2)
f'(x) = (1/2)(a+x)^(-1/2) * 1 - (1/2)(a-x)^(-1/2) * (-1)
f'(x) = 1/(2*akar(a+x)) + 1/(2*akar(a-x))

Dan g'(x) = 1.

Menggunakan aturan L'Hopital:
Limit x->0 f'(x)/g'(x) = Limit x->0 [1/(2*akar(a+x)) + 1/(2*akar(a-x))] / 1
Substitusikan x=0:
= 1/(2*akar(a)) + 1/(2*akar(a))
= 2/(2*akar(a))
= 1/akar(a)

Jadi, b = 1/akar(a).

Sekarang kita perlu mencari limit x->0 (akar(b+x) - akar(b-x))/x.
Dengan cara yang sama, kita gunakan aturan L'Hopital lagi.

Misalkan h(x) = akar(b+x) - akar(b-x) dan k(x) = x.
Maka h'(x) = 1/(2*akar(b+x)) + 1/(2*akar(b-x)).
Dan k'(x) = 1.

Menggunakan aturan L'Hopital:
Limit x->0 h'(x)/k'(x) = Limit x->0 [1/(2*akar(b+x)) + 1/(2*akar(b-x))] / 1
Substitusikan x=0:
= 1/(2*akar(b)) + 1/(2*akar(b))
= 2/(2*akar(b))
= 1/akar(b)

Karena b = 1/akar(a), maka 1/akar(b) = 1/akar(1/akar(a)) = 1/(1/akar(akar(a))) = akar(akar(a)) = a^(1/4).

Oleh karena itu, limit x->0 (akar(b+x) - akar(b-x))/x = a^(1/4).