Jika limit x->1 (a akar(x+3)-b)/(x-1)=1, maka nilai dari

4

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan konsep limit fungsi.
Diketahui:
lim (x→1) [a√(x+3) - b] / (x-1) = 1

Ketika x mendekati 1, penyebut (x-1) mendekati 0. Agar limit ini bernilai terhingga (yaitu 1), maka pembilang juga harus mendekati 0 ketika x mendekati 1. Ini berarti bahwa bentuk limitnya adalah 0/0.

Agar pembilang mendekati 0 saat x mendekati 1, maka:
a√(1+3) - b = 0
a√4 - b = 0
2a - b = 0
b = 2a

Sekarang, kita substitusikan b = 2a ke dalam limit:
lim (x→1) [a√(x+3) - 2a] / (x-1) = 1
lim (x→1) a[√(x+3) - 2] / (x-1) = 1

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan L'Hopital's Rule karena bentuknya adalah 0/0, atau dengan mengalikan dengan bentuk sekawan dari pembilang.

Menggunakan bentuk sekawan:
lim (x→1) a[√(x+3) - 2] / (x-1) * [√(x+3) + 2] / [√(x+3) + 2] = 1
lim (x→1) a[(x+3) - 4] / [(x-1)(√(x+3) + 2)] = 1
lim (x→1) a(x-1) / [(x-1)(√(x+3) + 2)] = 1

Kita bisa mencoret (x-1) karena x mendekati 1, bukan sama dengan 1:
lim (x→1) a / (√(x+3) + 2) = 1

Substitusikan x = 1:
a / (√(1+3) + 2) = 1
a / (√4 + 2) = 1
a / (2 + 2) = 1
a / 4 = 1
a = 4

Karena b = 2a, maka:
b = 2 * 4
b = 8

Yang ditanyakan adalah nilai dari (b-a):
b - a = 8 - 4 = 4

Jadi, nilai dari (b-a) adalah 4.