Jika limit x->a (f(x)+1/g(x))=4 dan limit x->a

25/2

Pembahasan

Diketahui:
1. $\lim_{x \to a} \frac{f(x)+1}{g(x)} = 4$
2. $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-1}{g(x)} = -3$

Kita perlu menentukan $\lim_{x \to a} \left( (f(x))^2 + \left(\frac{1}{g(x)}\right)^2 \right)$.

Misalkan $A = \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ dan $B = \lim_{x \to a} \frac{1}{g(x)}$.
Dari informasi yang diberikan:
1. $A + B = 4$
2. $A - B = -3$

Untuk mencari nilai $A$ dan $B$, kita bisa menjumlahkan dan mengurangkan kedua persamaan:
Menjumlahkan (1) dan (2):
$(A+B) + (A-B) = 4 + (-3)$
$2A = 1$
$A = 1/2$

Mengurangkan (2) dari (1):
$(A+B) - (A-B) = 4 - (-3)$
$2B = 7$
$B = 7/2$

Jadi, $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = 1/2$ dan $\lim_{x \to a} \frac{1}{g(x)} = 7/2$.

Sekarang kita hitung $\lim_{x \to a} \left( (f(x))^2 + \left(\frac{1}{g(x)}\right)^2 \right)$.
Ini bisa ditulis sebagai $\lim_{x \to a} (f(x))^2 + \lim_{x \to a} \left(\frac{1}{g(x)}\right)^2$.

Perlu diperhatikan bahwa kita tidak bisa langsung mengkuadratkan $A$ dan $B$ karena kita tidak tahu nilai $\lim_{x \to a} f(x)$ dan $\lim_{x \to a} g(x)$ secara terpisah.

Namun, kita bisa mengalikan kedua persamaan awal:
$\left( \frac{f(x)+1}{g(x)} \right) \times \left( \frac{f(x)-1}{g(x)} \right) = 4 \times (-3)$
$\frac{(f(x)+1)(f(x)-1)}{(g(x))^2} = -12$
$\frac{(f(x))^2 - 1}{(g(x))^2} = -12$

Ini juga tidak langsung membantu.

Mari kita gunakan nilai A dan B yang sudah kita temukan:
$\lim_{x \to a} \left( (f(x))^2 + \left(\frac{1}{g(x)}\right)^2 \right) = \lim_{x \to a} (f(x))^2 + \lim_{x \to a} \left(\frac{1}{g(x)}\right)^2$

Kita tahu $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = A$ dan $\lim_{x \to a} \frac{1}{g(x)} = B$. 
Maka $\lim_{x \to a} \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)^2 = A^2$ dan $\lim_{x \to a} \left( \frac{1}{g(x)} \right)^2 = B^2$.

Perhatikan bahwa $\lim_{x \to a} \left( (f(x))^2 + \left(\frac{1}{g(x)}\right)^2 \right)$ tidak sama dengan $A^2+B^2$ kecuali jika $g(x)=1$. 

Mari kita tinjau ulang pertanyaannya. Mungkin ada cara lain. 

Kita punya:
1. $\lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} \frac{1}{g(x)} = 4$
2. $\lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} \frac{1}{g(x)} = -3$

Misalkan $L_f = \lim_{x \to a} f(x)$ dan $L_g = \lim_{x \to a} g(x)$. Maka $\lim_{x \to a} \frac{1}{g(x)} = \frac{1}{L_g}$.

1. $L_f + \frac{1}{L_g} = 4$
2. $L_f - \frac{1}{L_g} = -3$

Menjumlahkan kedua persamaan:
$2 L_f = 1 
L_f = 1/2$

Mengurangkan persamaan kedua dari pertama:
$2 \frac{1}{L_g} = 7$
$\frac{1}{L_g} = 7/2$

Kita ingin mencari $\lim_{x \to a} \left( (f(x))^2 + \left(\frac{1}{g(x)}\right)^2 \right)$.
Ini sama dengan $\lim_{x \to a} (f(x))^2 + \lim_{x \to a} \left(\frac{1}{g(x)}\right)^2$
$= (L_f)^2 + (\frac{1}{L_g})^2$
$= (1/2)^2 + (7/2)^2$
$= 1/4 + 49/4$
$= 50/4$
$= 25/2$

Jawaban yang benar adalah 25/2.