Nilai dari lim x->tak hingga (akar(4x^2+5x)-2x+1)=...

9/4

Pembahasan

Untuk mencari nilai dari $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2+5x}-2x+1)$, kita bisa menggunakan metode mengalikan dengan bentuk sekawan.

Langkah 1: Kelompokkan suku yang memiliki $x$ dan konstanta.
$\lim_{x \to \infty} ((\sqrt{4x^2+5x}) - (2x-1))$

Langkah 2: Kalikan dengan bentuk sekawan dari $((\sqrt{4x^2+5x}) - (2x-1))$, yaitu $((\sqrt{4x^2+5x}) + (2x-1))$.

$\lim_{x \to \infty} \left( (\sqrt{4x^2+5x}) - (2x-1) \right) \times \frac{(\sqrt{4x^2+5x}) + (2x-1)}{(\sqrt{4x^2+5x}) + (2x-1)}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{(4x^2+5x) - (2x-1)^2}{(\sqrt{4x^2+5x}) + (2x-1)}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{4x^2+5x - (4x^2-4x+1)}{(\sqrt{4x^2+5x}) + (2x-1)}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{4x^2+5x - 4x^2+4x-1}{(\sqrt{4x^2+5x}) + (2x-1)}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{9x-1}{(\sqrt{4x^2+5x}) + (2x-1)}$

Langkah 3: Bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi dari $x$ di penyebut, yaitu $x$ (karena $\sqrt{x^2}=x$ untuk $x \to \infty$).

$= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{9x}{x}-\frac{1}{x}}{(\sqrt{\frac{4x^2}{x^2}+\frac{5x}{x^2}}) + \frac{2x}{x}-\frac{1}{x}}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{9-\frac{1}{x}}{(\sqrt{4+\frac{5}{x}}) + 2-\frac{1}{x}}$

Langkah 4: Substitusikan $x \to \infty$. Ingat bahwa $\frac{c}{x} \to 0$ ketika $x \to \infty$.

$= \frac{9-0}{(\sqrt{4+0}) + 2-0}$

$= \frac{9}{(\sqrt{4}) + 2}$

$= \frac{9}{2 + 2}$

$= \frac{9}{4}$

Jadi, nilai dari $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2+5x}-2x+1)$ adalah $9/4$.