Jika lingkaran L = x^2+y^2 = 1 menyinggung garis px+qy=2q,

1/4

Pembahasan

Diketahui lingkaran L dengan persamaan x^2 + y^2 = 1. Ini adalah persamaan lingkaran dengan pusat di (0,0) dan jari-jari (r) = 1.

Lingkaran tersebut menyinggung garis px + qy = 2q.

Syarat sebuah garis menyinggung lingkaran adalah jarak dari pusat lingkaran ke garis tersebut sama dengan jari-jari lingkaran.

Rumus jarak dari titik (x0, y0) ke garis Ax + By + C = 0 adalah:
d = |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2)

Dalam kasus ini:
Pusat lingkaran (x0, y0) = (0,0)
Jari-jari lingkaran (r) = 1
Garis singgung: px + qy - 2q = 0
Jadi, A = p, B = q, C = -2q.

Jarak (d) = |p(0) + q(0) - 2q| / sqrt(p^2 + q^2)
d = |-2q| / sqrt(p^2 + q^2)

Karena d = r, maka:
1 = |-2q| / sqrt(p^2 + q^2)

Kuadratkan kedua sisi:
1^2 = (|-2q|^2) / (sqrt(p^2 + q^2)^2)
1 = (4q^2) / (p^2 + q^2)

Pindahkan penyebut ke sisi kiri:
p^2 + q^2 = 4q^2

Kita diminta untuk mencari nilai dari q^2 / (p^2 + q^2).
Dari persamaan p^2 + q^2 = 4q^2, kita bisa substitusikan nilai (p^2 + q^2) ke dalam ekspresi yang diminta:

q^2 / (p^2 + q^2) = q^2 / (4q^2)

Jika q tidak sama dengan nol, kita bisa membagi pembilang dan penyebut dengan q^2:

q^2 / (4q^2) = 1/4

Jadi, nilai dari q^2 / (p^2 + q^2) adalah 1/4.