Jika maka 3/(x+2)> 7/(x -6)

Solusinya adalah \(x < -8\) atau \(-2 < x < 6\).

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan \(\frac{3}{x+2} > \frac{7}{x-6}\), kita perlu memindahkan semua suku ke satu sisi dan mencari penyebut bersama:
\(\frac{3}{x+2} - \frac{7}{x-6} > 0\)

Cari penyebut bersama, yaitu \((x+2)(x-6)\):
\(\frac{3(x-6) - 7(x+2)}{(x+2)(x-6)} > 0\)

Distribusikan dan sederhanakan pembilang:
\(\frac{3x - 18 - 7x - 14}{(x+2)(x-6)} > 0\)
\(\frac{-4x - 32}{(x+2)(x-6)} > 0\)

Kalikan seluruh pertidaksamaan dengan -1 dan balikkan tanda ketidaksamaan:
\(\frac{4x + 32}{(x+2)(x-6)} < 0\)
\(\frac{4(x + 8)}{(x+2)(x-6)} < 0\)

Sekarang, kita cari nilai-nilai kritis di mana pembilang atau penyebut sama dengan nol:
x + 8 = 0  => x = -8
x + 2 = 0  => x = -2
x - 6 = 0  => x = 6

Nilai-nilai ini membagi garis bilangan menjadi beberapa interval: (-∞, -8), (-8, -2), (-2, 6), dan (6, ∞).
Kita uji nilai dari setiap interval:

1. Untuk x < -8 (misal x = -10): \(\frac{4(-10 + 8)}{(-10+2)(-10-6)} = \frac{4(-2)}{(-8)(-16)} = \frac{-8}{128} < 0\). Interval ini memenuhi.
2. Untuk -8 < x < -2 (misal x = -5): \(\frac{4(-5 + 8)}{(-5+2)(-5-6)} = \frac{4(3)}{(-3)(-11)} = \frac{12}{33} > 0\). Interval ini tidak memenuhi.
3. Untuk -2 < x < 6 (misal x = 0): \(\frac{4(0 + 8)}{(0+2)(0-6)} = \frac{32}{(2)(-6)} = \frac{32}{-12} < 0\). Interval ini memenuhi.
4. Untuk x > 6 (misal x = 10): \(\frac{4(10 + 8)}{(10+2)(10-6)} = \frac{4(18)}{(12)(4)} = \frac{72}{48} > 0\). Interval ini tidak memenuhi.

Jadi, solusi dari pertidaksamaan adalah \(x < -8\) atau \(-2 < x < 6\).