Jika matriks A=(3 2 1 0) dan B=(1 -2 0 2), maka matriks

Matriks hasil perhitungan adalah [[4, 0], [1, 2]].

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menghitung invers dari matriks A dan B, kemudian melakukan operasi perkalian dan penjumlahan matriks.

Matriks yang diberikan:
$A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
$B = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

Langkah 1: Hitung invers matriks A ($A^{-1}$). 
Untuk matriks 2x2 $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, inversnya adalah $\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.
Determinan A ($det(A)$) = $(3 \times 0) - (2 \times 1) = 0 - 2 = -2$.
$A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1/2 & -3/2 \end{pmatrix}$.

Langkah 2: Hitung invers matriks B ($B^{-1}$).
Determinan B ($det(B)$) = $(1 \times 2) - (-2 \times 0) = 2 - 0 = 2$.
$B^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & -(-2) \\ -0 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1/2 \end{pmatrix}$.

Langkah 3: Hitung matriks AB ($AB$).
$AB = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (3 \times 1 + 2 \times 0) & (3 \times -2 + 2 \times 2) \\ (1 \times 1 + 0 \times 0) & (1 \times -2 + 0 \times 2) \end{pmatrix}$
$AB = \begin{pmatrix} 3+0 & -6+4 \\ 1+0 & -2+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$.

Langkah 4: Hitung matriks BA ($BA$).
$BA = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1 \times 3 + (-2) \times 1) & (1 \times 2 + (-2) \times 0) \\ (0 \times 3 + 2 \times 1) & (0 \times 2 + 2 \times 0) \end{pmatrix}$
$BA = \begin{pmatrix} 3-2 & 2+0 \\ 0+2 & 0+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$.

Langkah 5: Hitung matriks $AB^{-1}$.
$AB^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (3 \times 1 + (-2) \times 0) & (3 \times 1 + (-2) \times 1/2) \\ (1 \times 1 + (-2) \times 0) & (1 \times 1 + (-2) \times 1/2) \end{pmatrix}$
$AB^{-1} = \begin{pmatrix} 3+0 & 3-1 \\ 1+0 & 1-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.

Langkah 6: Hitung matriks $BA^{-1}$.
$BA^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1/2 & -3/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1 \times 0 + 2 \times 1/2) & (1 \times 1 + 2 \times (-3/2)) \\ (2 \times 0 + 0 \times 1/2) & (2 \times 1 + 0 \times (-3/2)) \end{pmatrix}$
$BA^{-1} = \begin{pmatrix} 0+1 & 1-3 \\ 0+0 & 2+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$.

Langkah 7: Hitung $AB^{-1} + BA^{-1}$.
$AB^{-1} + BA^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$
$AB^{-1} + BA^{-1} = \begin{pmatrix} 3+1 & 2+(-2) \\ 1+0 & 0+2 \end{pmatrix}$
$AB^{-1} + BA^{-1} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$.

Jadi, matriks $AB^{-1} + BA^{-1}$ adalah $\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$.