Jika n merupakan bilangan ganjil, tentukan nilai dari:

1009/2019

Pembahasan

Kita diminta untuk menentukan nilai dari sigma{n=1)^(2019) (1)/(n(n+2)) di mana n adalah bilangan ganjil.

Deret yang diberikan adalah: 1/(1*3) + 1/(3*5) + 1/(5*7) + ... + 1/(2017*2019).

Kita dapat menggunakan metode dekomposisi pecahan parsial untuk suku umum 1/(n(n+2)).
1/(n(n+2)) = A/n + B/(n+2)
1 = A(n+2) + Bn
Jika n=0, maka 1 = A(2) => A = 1/2
Jika n=-2, maka 1 = B(-2) => B = -1/2

Jadi, 1/(n(n+2)) = (1/2)/n - (1/2)/(n+2) = (1/2) * [1/n - 1/(n+2)].

Sekarang kita terapkan ini pada deret kita, di mana n dimulai dari 1 dan bertambah 2 setiap suku (n = 1, 3, 5, ..., 2017).

Suku pertama (n=1): (1/2) * [1/1 - 1/3]
Suku kedua (n=3): (1/2) * [1/3 - 1/5]
Suku ketiga (n=5): (1/2) * [1/5 - 1/7]
...
Suku terakhir (n=2017): (1/2) * [1/2017 - 1/2019]

Ketika kita menjumlahkan suku-suku ini, suku-suku di tengah akan saling menghilangkan (telescoping series):

Total = (1/2) * [ (1/1 - 1/3) + (1/3 - 1/5) + (1/5 - 1/7) + ... + (1/2017 - 1/2019) ]
Total = (1/2) * [ 1/1 - 1/2019 ]
Total = (1/2) * [ (2019 - 1) / 2019 ]
Total = (1/2) * [ 2018 / 2019 ]
Total = 1009 / 2019

Jadi, nilai dari deret tersebut adalah 1009/2019.