Diketahui sebuah persegi dengan titik sudut di

Lingkaran dalam: (x-4)^2 + (y-1)^2 = 4. Lingkaran luar: (x-4)^2 + (y-1)^2 = 8.

Pembahasan

Soal ini meminta kita untuk menentukan persamaan lingkaran yang berada di dalam dan di luar persegi yang memiliki titik sudut di (2,-1), (6,-1), (6,3), dan (2,3).
1. Tentukan Sifat Persegi:
   - Titik sudutnya adalah (2,-1), (6,-1), (6,3), (2,3).
   - Panjang sisi horizontal = 6 - 2 = 4.
   - Panjang sisi vertikal = 3 - (-1) = 3 + 1 = 4.
   Ini adalah sebuah persegi dengan panjang sisi 4.
2. Tentukan Pusat Persegi:
   Pusat persegi adalah titik tengah dari diagonalnya. Kita bisa ambil titik tengah antara (2,-1) dan (6,3).
   Pusat_x = (2 + 6) / 2 = 8 / 2 = 4.
   Pusat_y = (-1 + 3) / 2 = 2 / 2 = 1.
   Jadi, pusat persegi adalah (4,1).
3. Tentukan Persamaan Lingkaran Dalam (Incircle):
   Lingkaran dalam menyinggung keempat sisi persegi.
   Jari-jari lingkaran dalam (r_in) adalah setengah dari panjang sisi persegi.
   r_in = sisi / 2 = 4 / 2 = 2.
   Persamaan lingkaran dengan pusat (h,k) dan jari-jari r adalah (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2.
   Dengan pusat (4,1) dan r_in = 2:
   Persamaan lingkaran dalam: (x-4)^2 + (y-1)^2 = 2^2 = 4.
4. Tentukan Persamaan Lingkaran Luar (Circumcircle):
   Lingkaran luar melalui keempat titik sudut persegi.
   Jari-jari lingkaran luar (r_out) adalah setengah dari panjang diagonal persegi.
   Panjang diagonal dapat dihitung menggunakan teorema Pythagoras: diagonal^2 = sisi^2 + sisi^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32.
   diagonal = sqrt(32) = 4*sqrt(2).
   r_out = diagonal / 2 = (4*sqrt(2)) / 2 = 2*sqrt(2).
   Dengan pusat (4,1) dan r_out = 2*sqrt(2):
   Persamaan lingkaran luar: (x-4)^2 + (y-1)^2 = (2*sqrt(2))^2 = 4 * 2 = 8.

Jadi, persamaan lingkaran dalam persegi tersebut adalah (x-4)^2 + (y-1)^2 = 4, dan persamaan lingkaran luarnya adalah (x-4)^2 + (y-1)^2 = 8.