Jika n! = n . (n - 1) . (n - 2) ... 3 . 2 . 1, maka n yang

Nilai n yang memenuhi adalah 3.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan (n + 1)! / (n - 1)! = 12, kita perlu memahami definisi faktorial.
Definisi faktorial: n! = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * 3 * 2 * 1.

Kita dapat menyederhanakan ekspresi (n + 1)! / (n - 1)!:
(n + 1)! = (n + 1) * n * (n - 1) * (n - 2) * ... * 1
(n - 1)! = (n - 1) * (n - 2) * ... * 1

Sehingga,
(n + 1)! / (n - 1)! = [(n + 1) * n * (n - 1)!] / (n - 1)!
Kita bisa membatalkan (n - 1)! di pembilang dan penyebut:
(n + 1)! / (n - 1)! = (n + 1) * n

Sekarang, kita substitusikan ini kembali ke dalam persamaan:
n * (n + 1) = 12

Kita perlu mencari nilai n yang memenuhi persamaan kuadrat ini. Kita bisa menguraikan persamaan tersebut:
n² + n = 12
n² + n - 12 = 0

Sekarang, kita faktorkan persamaan kuadrat ini. Kita mencari dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya -12 dan jika dijumlahkan hasilnya 1. Bilangan-bilangan tersebut adalah 4 dan -3.
(n + 4)(n - 3) = 0

Ini memberikan dua kemungkinan solusi untuk n:
n + 4 = 0  => n = -4
n - 3 = 0  => n = 3

Namun, dalam konteks faktorial, n haruslah bilangan bulat non-negatif. Lebih spesifik lagi, untuk (n - 1)! terdefinisi, n - 1 harus ≥ 0, yang berarti n ≥ 1. Oleh karena itu, nilai n = -4 tidak valid.
Nilai n = 3 valid karena memenuhi syarat n ≥ 1.

Mari kita cek:
Jika n = 3, maka:
(3 + 1)! / (3 - 1)! = 4! / 2! = (4 * 3 * 2 * 1) / (2 * 1) = 24 / 2 = 12.
Persamaan terpenuhi.

Jadi, nilai n yang memenuhi persamaan tersebut adalah 3.