Tentukan titik pusat dan panjang jari-jari dari lingkaran

Titik pusat: (1, -3), Jari-jari: 3

Pembahasan

Untuk menentukan titik pusat dan panjang jari-jari dari lingkaran dengan persamaan $x^2 + y^2 - 2x + 6y + 1 = 0$, kita perlu mengubah persamaan tersebut ke bentuk standar $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$, di mana $(h,k)$ adalah titik pusat dan $r$ adalah jari-jari.

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
1. Kelompokkan suku-suku x dan y: $(x^2 - 2x) + (y^2 + 6y) + 1 = 0$.
2. Lengkapi kuadrat untuk suku x: $(x^2 - 2x + 1) - 1$. Ini menjadi $(x-1)^2 - 1$.
3. Lengkapi kuadrat untuk suku y: $(y^2 + 6y + 9) - 9$. Ini menjadi $(y+3)^2 - 9$.
4. Substitusikan kembali ke persamaan: $((x-1)^2 - 1) + ((y+3)^2 - 9) + 1 = 0$.
5. Sederhanakan: $(x-1)^2 + (y+3)^2 - 1 - 9 + 1 = 0$.
6. Pindahkan konstanta ke sisi kanan: $(x-1)^2 + (y+3)^2 = 9$.

Dari bentuk standar $(x-1)^2 + (y+3)^2 = 9$, kita dapat mengidentifikasi:
- Titik pusat $(h,k)$ adalah $(1, -3)$.
- Jari-jari $r^2 = 9$, sehingga $r = \sqrt{9} = 3$.

Jadi, titik pusat lingkaran adalah (1, -3) dan panjang jari-jarinya adalah 3.