Jika P(x)=ax^3+ bx^2 + (a - 2b)x -a habis dibagi x^2 + 2

Nilai ab adalah -1/2.

Pembahasan

Diketahui P(x) = ax^3 + bx^2 + (a - 2b)x - a.
P(x) habis dibagi oleh x^2 + 2 dan x + b.

Karena P(x) habis dibagi x^2 + 2, maka akar-akar dari x^2 + 2 = 0 juga merupakan akar dari P(x). Akar-akar dari x^2 + 2 = 0 adalah x^2 = -2, sehingga x = ±i√2.

Karena P(x) habis dibagi oleh x + b, maka P(-b) = 0.
Substitusikan x = -b ke dalam P(x):
P(-b) = a(-b)^3 + b(-b)^2 + (a - 2b)(-b) - a
0 = -ab^3 + b(b^2) - ab + 2b^2 - a
0 = -ab^3 + b^3 - ab + 2b^2 - a
0 = b^3(1 - a) - ab + 2b^2 - a  (Persamaan 1)

Sekarang, substitusikan x = i√2 ke dalam P(x) dan P(x) harus sama dengan 0.
P(i√2) = a(i√2)^3 + b(i√2)^2 + (a - 2b)(i√2) - a
0 = a(-i2√2) + b(-2) + (a - 2b)(i√2) - a
0 = -i2√2 a - 2b + ai√2 - 2bi√2 - a

Kelompokkan bagian real dan imajiner:
Bagian Real: -2b - a = 0  => a = -2b (Persamaan 2)
Bagian Imajiner: -2√2 a - 2b√2 = 0
-2√2 (a + b) = 0
a + b = 0 => a = -b (Persamaan 3)

Dari Persamaan 2 dan 3, kita memiliki dua kondisi untuk a:
a = -2b dan a = -b.
Ini hanya mungkin jika a = 0 dan b = 0. Namun, jika b = 0, maka pembagi x + b menjadi x, yang tidak masuk akal dalam konteks ini, dan jika a = 0, maka P(x) menjadi bx^2 - 2bx, yang juga terbatas.

Mari kita periksa kembali kondisi P(i√2) = 0.
0 = (-2b - a) + i(-2√2 a - 2b√2)
Agar persamaan ini bernilai nol, bagian real dan bagian imajiner harus nol secara terpisah.

Bagian Real: -2b - a = 0 => a = -2b
Bagian Imajiner: -2√2 a - 2b√2 = 0 => a + b = 0 => a = -b

Jika kita menyubstitusikan a = -2b ke dalam a = -b, kita mendapatkan -2b = -b, yang berarti -b = 0, sehingga b = 0. Jika b = 0, maka a = -2(0) = 0. Ini mengarah pada P(x) = 0, yang merupakan kasus trivial.

Mari kita gunakan fakta bahwa P(x) habis dibagi x^2 + 2, yang berarti kita bisa melakukan pembagian polinomial atau menggunakan sifat akar.
Jika P(x) dibagi oleh x^2 + 2, maka P(x) = Q(x)(x^2 + 2).
Ini berarti P(√-2) = 0 dan P(-√-2) = 0.

P(x) = ax^3 + bx^2 + (a - 2b)x - a

Substitusi x = √-2 (atau i√2):
P(i√2) = a(i√2)^3 + b(i√2)^2 + (a - 2b)(i√2) - a = 0
a(-i2√2) + b(-2) + ai√2 - 2bi√2 - a = 0
(-2b - a) + i(-2√2 a - 2b√2) = 0

Dari sini kita mendapatkan:
1) -2b - a = 0 => a = -2b
2) -2√2 a - 2b√2 = 0 => a + b = 0 => a = -b

Sekarang, P(x) juga habis dibagi oleh x + b, yang berarti P(-b) = 0.
Substitusikan x = -b:
P(-b) = a(-b)^3 + b(-b)^2 + (a - 2b)(-b) - a = 0
-ab^3 + b^3 - ab + 2b^2 - a = 0

Kita punya dua kondisi dari pembagian dengan x^2 + 2: a = -2b dan a = -b.
Mari kita gunakan a = -b dalam persamaan P(-b) = 0.
Substitusi a = -b ke dalam P(x):
P(x) = (-b)x^3 + bx^2 + (-b - 2b)x - (-b)
P(x) = -bx^3 + bx^2 - 3bx + b

Karena P(x) habis dibagi x + b, maka P(-b) = 0.
Substitusikan x = -b ke dalam P(x) yang baru:
P(-b) = -b(-b)^3 + b(-b)^2 - 3b(-b) + b
P(-b) = -b(-b^3) + b(b^2) + 3b^2 + b
P(-b) = b^4 + b^3 + 3b^2 + b

Kita juga tahu bahwa P(x) habis dibagi x^2 + 2. Jika a = -b, maka P(x) = -bx^3 + bx^2 - 3bx + b.
Jika kita bagi P(x) dengan x^2 + 2:
(-bx^3 + bx^2 - 3bx + b) / (x^2 + 2)
Kita bisa menulis:
-bx^3 + bx^2 - 3bx + b = (-bx + b)(x^2 + 2) + (-bx + b)
-bx^3 + bx^2 - 3bx + b = -bx^3 - 2bx + bx^2 + 2b + (-bx + b)
-bx^3 + bx^2 - 3bx + b = -bx^3 + bx^2 - 3bx + 3b

Agar P(x) habis dibagi x^2 + 2, sisanya harus nol. Sisa dari pembagian di atas adalah -bx + 3b. Jadi, -bx + 3b = 0.
Ini berarti -b = 0 dan 3b = 0, yang menyiratkan b = 0. Jika b = 0, maka a = -b = 0.

Mari kita coba pendekatan lain. Jika P(x) habis dibagi x^2 + 2, maka P(x) = (x^2 + 2) * (cx + d) untuk suatu konstanta c dan d.
ax^3 + bx^2 + (a - 2b)x - a = (x^2 + 2)(cx + d)
ax^3 + bx^2 + (a - 2b)x - a = cx^3 + dx^2 + 2cx + 2d

Samakan koefisien:
Koefisien x^3: a = c
Koefisien x^2: b = d
Koefisien x: a - 2b = 2c
Konstanta: -a = 2d

Dari koefisien x^3 dan x:
a - 2b = 2a  => -2b = a

Dari koefisien x^2 dan konstanta:
b = d
-a = 2d
Substitusikan b = d ke -a = 2d => -a = 2b => a = -2b

Kedua kondisi konsisten, yaitu a = -2b.
Sekarang kita tahu bahwa P(x) habis dibagi x + b, jadi P(-b) = 0.
Substitusikan a = -2b ke dalam P(x):
P(x) = (-2b)x^3 + bx^2 + (-2b - 2b)x - (-2b)
P(x) = -2bx^3 + bx^2 - 4bx + 2b

Karena P(-b) = 0:
-2b(-b)^3 + b(-b)^2 - 4b(-b) + 2b = 0
-2b(-b^3) + b(b^2) + 4b^2 + 2b = 0
2b^4 + b^3 + 4b^2 + 2b = 0
b(2b^3 + b^2 + 4b + 2) = 0

Salah satu solusi adalah b = 0. Jika b = 0, maka a = -2(0) = 0. Ini memberikan P(x) = 0, yang merupakan kasus trivial.

Kita perlu mencari solusi non-nol dari 2b^3 + b^2 + 4b + 2 = 0.
Kita bisa memfaktorkan ekspresi ini dengan pengelompokan:
(2b^3 + b^2) + (4b + 2) = 0
b^2(2b + 1) + 2(2b + 1) = 0
(b^2 + 2)(2b + 1) = 0

Dari faktor ini, kita punya dua kemungkinan:
1) b^2 + 2 = 0 => b^2 = -2 => b = ±i√2 (solusi kompleks, biasanya tidak dipertimbangkan untuk koefisien real kecuali dinyatakan)
2) 2b + 1 = 0 => 2b = -1 => b = -1/2

Jika b = -1/2, maka a = -2b = -2(-1/2) = 1.

Mari kita cek apakah P(x) dengan a=1 dan b=-1/2 habis dibagi x^2+2 dan x+b.
Jika b = -1/2, maka x + b = x - 1/2.
Kita perlu P(-1/2) = 0.

P(x) = ax^3 + bx^2 + (a - 2b)x - a
Dengan a = 1 dan b = -1/2:
P(x) = 1x^3 + (-1/2)x^2 + (1 - 2(-1/2))x - 1
P(x) = x^3 - (1/2)x^2 + (1 + 1)x - 1
P(x) = x^3 - (1/2)x^2 + 2x - 1

Sekarang periksa P(-1/2):
P(-1/2) = (-1/2)^3 - (1/2)(-1/2)^2 + 2(-1/2) - 1
P(-1/2) = -1/8 - (1/2)(1/4) - 1 - 1
P(-1/2) = -1/8 - 1/8 - 2
P(-1/2) = -2/8 - 2
P(-1/2) = -1/4 - 2 = -9/4

Sepertinya ada kesalahan dalam penalaran atau soal. Mari kita tinjau kembali dari pembagian x^2+2.

P(x) = ax^3 + bx^2 + (a - 2b)x - a
habis dibagi x^2 + 2.
Ini berarti P(x) = (x^2 + 2) * Q(x).
Karena P(x) berderajat 3, Q(x) harus berderajat 1, katakanlah Q(x) = cx + d.
P(x) = (x^2 + 2)(cx + d) = cx^3 + dx^2 + 2cx + 2d.

Samakan koefisien:
Untuk x^3: a = c
Untuk x^2: b = d
Untuk x: a - 2b = 2c
Untuk konstanta: -a = 2d

Substitusikan c = a dan d = b ke persamaan koefisien x:
a - 2b = 2a => -2b = a.
Substitusikan d = b ke persamaan konstanta:
-a = 2b => a = -2b.
Kedua persamaan konsisten.

Sekarang, P(x) juga habis dibagi x + b.
Ini berarti P(-b) = 0.
Substitusikan a = -2b ke dalam P(x) = cx^3 + dx^2 + 2cx + 2d:
P(x) = ax^3 + bx^2 + 2ax + 2b
Karena a = -2b, maka:
P(x) = -2bx^3 + bx^2 + 2(-2b)x + 2b
P(x) = -2bx^3 + bx^2 - 4bx + 2b

Sekarang kita gunakan P(-b) = 0:
P(-b) = -2b(-b)^3 + b(-b)^2 - 4b(-b) + 2b
P(-b) = -2b(-b^3) + b(b^2) + 4b^2 + 2b
P(-b) = 2b^4 + b^3 + 4b^2 + 2b

Kita perlu 2b^4 + b^3 + 4b^2 + 2b = 0.
Faktorkan b:
b(2b^3 + b^2 + 4b + 2) = 0.
Kita sudah memfaktorkan kurung tersebut menjadi (b^2 + 2)(2b + 1) = 0.
Jadi, b(b^2 + 2)(2b + 1) = 0.

Solusi untuk b adalah b = 0, atau b^2 = -2 (tidak real), atau 2b + 1 = 0 => b = -1/2.

Jika b = 0, maka a = -2(0) = 0. Ini adalah kasus trivial.
Jika b = -1/2, maka a = -2(-1/2) = 1.

Sekarang kita hitung nilai ab.
ab = (1) * (-1/2) = -1/2.

Mari kita cek kembali soalnya, mungkin ada typo.