Jika sisa pembagian f(x) oleh (x^3-3x+5) adalah (3x^2-2)

79

Pembahasan

Diketahui bahwa sisa pembagian f(x) oleh (x^3 - 3x + 5) adalah (3x^2 - 2). Ini berarti f(x) dapat ditulis sebagai f(x) = Q1(x) * (x^3 - 3x + 5) + (3x^2 - 2), di mana Q1(x) adalah hasil bagi.
Selanjutnya, kita perlu mencari sisa pembagian dari (x + xf(x))^2 oleh (x^3 - 3x + 5). Mari kita substitusikan f(x) ke dalam ekspresi tersebut:
(x + xf(x))^2 = (x + x(Q1(x) * (x^3 - 3x + 5) + 3x^2 - 2))^2
Ketika kita membagi ekspresi ini dengan (x^3 - 3x + 5), suku-suku yang mengandung (x^3 - 3x + 5) akan menjadi nol karena merupakan kelipatan dari pembagi.
Jadi, kita hanya perlu mempertimbangkan bagian yang tidak habis dibagi oleh (x^3 - 3x + 5), yaitu bagian yang berasal dari sisa pembagian f(x).
(x + x(3x^2 - 2))^2 = (x + 3x^3 - 2x)^2 = (3x^3 - x)^2
Sekarang, kita perlu mencari sisa pembagian dari (3x^3 - x)^2 oleh (x^3 - 3x + 5).
(3x^3 - x)^2 = (3x^3)^2 - 2(3x^3)(x) + x^2 = 9x^6 - 6x^4 + x^2
Untuk mencari sisa pembagian ini, kita bisa menggunakan substitusi atau pembagian panjang. Perhatikan bahwa jika x^3 - 3x + 5 = 0, maka x^3 = 3x - 5.
Kita bisa substitusikan x^3 ini ke dalam ekspresi 9x^6 - 6x^4 + x^2:
9x^6 = 9(x^3)^2 = 9(3x - 5)^2 = 9(9x^2 - 30x + 25) = 81x^2 - 270x + 225
-6x^4 = -6x * x^3 = -6x(3x - 5) = -18x^2 + 30x
Jadi, 9x^6 - 6x^4 + x^2 = (81x^2 - 270x + 225) + (-18x^2 + 30x) + x^2
= (81 - 18 + 1)x^2 + (-270 + 30)x + 225
= 64x^2 - 240x + 225
Ini adalah sisa pembagian dari (3x^3 - x)^2 oleh (x^3 - 3x + 5) jika kita mengabaikan derajat yang lebih tinggi dari 2. Namun, kita perlu melakukan pembagian polinomial yang lebih formal.
Mari kita kembali ke (3x^3 - x)^2. Kita tahu x^3 = 3x - 5.
(3x^3 - x)^2 = (3(3x - 5) - x)^2 = (9x - 15 - x)^2 = (8x - 15)^2
(8x - 15)^2 = 64x^2 - 2(8x)(15) + 225 = 64x^2 - 240x + 225.
Ini adalah sisa pembagian dalam bentuk ax^2 + bx + c.
Jadi, a = 64, b = -240, c = 225.
Kita perlu mencari a - b - c.
a - b - c = 64 - (-240) - 225 = 64 + 240 - 225 = 304 - 225 = 79.

Ada kemungkinan kesalahan dalam pemahaman soal atau perhitungan saya. Mari kita coba pendekatan lain dengan menggunakan sifat modular aritmetika polinomial.
Jika f(x) ≡ 3x^2 - 2 (mod x^3 - 3x + 5), maka:
(x + xf(x))^2 ≡ (x + x(3x^2 - 2))^2 (mod x^3 - 3x + 5)
≡ (x + 3x^3 - 2x)^2 (mod x^3 - 3x + 5)
≡ (3x^3 - x)^2 (mod x^3 - 3x + 5)
Karena x^3 ≡ 3x - 5 (mod x^3 - 3x + 5),
maka:
(3x^3 - x)^2 ≡ (3(3x - 5) - x)^2 (mod x^3 - 3x + 5)
≡ (9x - 15 - x)^2 (mod x^3 - 3x + 5)
≡ (8x - 15)^2 (mod x^3 - 3x + 5)
≡ 64x^2 - 240x + 225 (mod x^3 - 3x + 5)
Jadi, sisa pembagiannya adalah 64x^2 - 240x + 225. Dengan demikian, a = 64, b = -240, dan c = 225.
Nilai a - b - c = 64 - (-240) - 225 = 64 + 240 - 225 = 304 - 225 = 79.