Jika solusi dari SPLDV (a+3)x+y=0 x+(a+3)y=0 tidak hanya

Nilai a² + 6a + 17 adalah 9.

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) dan konsep nilai eigen atau determinan matriks koefisien.

SPLDV yang diberikan adalah:
(a+3)x + y = 0  (Persamaan 1)
x + (a+3)y = 0  (Persamaan 2)

Sistem persamaan linear homogen seperti ini selalu memiliki solusi trivial, yaitu (x, y) = (0, 0).
Agar sistem ini memiliki solusi selain solusi trivial (artinya memiliki tak hingga banyak solusi), maka determinan dari matriks koefisiennya harus sama dengan nol.

Matriks koefisien dari SPLDV tersebut adalah:
A = 
[a+3   1]
[ 1   a+3]

Determinan matriks A (det(A)) dihitung sebagai:
det(A) = (a+3)*(a+3) - (1*1)
det(A) = (a+3)² - 1

Agar ada solusi selain (0, 0), maka det(A) = 0:
(a+3)² - 1 = 0
(a+3)² = 1

Ini memberikan dua kemungkinan nilai untuk (a+3):
a+3 = 1  atau  a+3 = -1

Dari a+3 = 1, kita dapatkan a = 1 - 3 = -2.
Dari a+3 = -1, kita dapatkan a = -1 - 3 = -4.

Sekarang kita perlu mencari nilai dari a² + 6a + 17.
Kita bisa menggunakan salah satu nilai a yang ditemukan, atau kita bisa mencoba menyederhanakan ekspresi yang diminta.

Perhatikan bahwa ekspresi a² + 6a + 17 mirip dengan (a+3)².
Kita tahu bahwa (a+3)² = a² + 6a + 9.

Maka, a² + 6a + 17 dapat ditulis ulang sebagai:
a² + 6a + 9 + 8 = (a+3)² + 8.

Karena kita tahu bahwa (a+3)² = 1 (dari syarat agar ada solusi selain trivial), maka kita substitusikan nilai ini:
Nilai ekspresi = 1 + 8 = 9.

Mari kita verifikasi dengan kedua nilai a:
Jika a = -2:
a² + 6a + 17 = (-2)² + 6(-2) + 17 = 4 - 12 + 17 = -8 + 17 = 9.
Jika a = -4:
a² + 6a + 17 = (-4)² + 6(-4) + 17 = 16 - 24 + 17 = -8 + 17 = 9.

Kedua nilai a memberikan hasil yang sama untuk ekspresi a² + 6a + 17.

Jadi, nilai dari a² + 6a + 17 adalah 9.