Jika suku banyak x^4-2x^2+1 dapat difaktorkan menjadi

Nilai a + b + c + d = -2.

Pembahasan

Kita diberikan suku banyak $x^4 - 2x^2 + 1$ yang dapat difaktorkan menjadi $(x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d)$. Suku banyak ini sebenarnya adalah kuadrat sempurna, yaitu $(x^2 - 1)^2$. Faktornya adalah $(x-1)(x+1)(x-1)(x+1) = (x-1)^2(x+1)^2$. Jika kita mengelompokkan faktor-faktor ini ke dalam dua polinomial kuadratik, salah satu kemungkinannya adalah $(x^2 - 1)(x^2 - 1)$. Dalam bentuk ini, kita dapat menyamakan koefisiennya: $x^2 + ax + b = x^2 - 1$ dan $x^2 + cx + d = x^2 - 1$. Dari perbandingan ini, kita mendapatkan a = 0, b = -1, c = 0, dan d = -1. Maka, a + b + c + d = 0 + (-1) + 0 + (-1) = -2. Kemungkinan lain untuk faktorisasi adalah $(x^2 + x - 1)(x^2 - x - 1)$ atau $(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$. Mari kita periksa $(x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d) = x^4 + (a+c)x^3 + (b+d+ac)x^2 + (ad+bc)x + bd$. Jika kita samakan dengan $x^4 - 2x^2 + 1$, kita dapatkan: koefisien $x^3$: $a+c = 0 
ightarrow c = -a$; koefisien $x$: $ad+bc = 0 
ightarrow ad+b(-a) = 0 
ightarrow a(d-b) = 0$. Ini berarti a=0 atau d=b. Kasus 1: a=0. Maka c=0. Persamaannya menjadi $(x^2+b)(x^2+d) = x^4 + (b+d)x^2 + bd$. Samakan dengan $x^4 - 2x^2 + 1$: $b+d = -2$ dan $bd = 1$. Dari sini, kita bisa selesaikan b dan d. Misal $b= -1$ dan $d= -1$. Maka $a+b+c+d = 0 + (-1) + 0 + (-1) = -2$. Kasus 2: d=b. Maka $a+c=0$ dan $b+b+ac = -2 
ightarrow 2b + a(-a) = -2 
ightarrow 2b - a^2 = -2$. Dan $bd = 1 
ightarrow b^2 = 1 
ightarrow b = \pm 1$. Jika $b=1$, maka $2(1) - a^2 = -2 
ightarrow 2 - a^2 = -2 
ightarrow a^2 = 4 
ightarrow a = 
e 2$. Jika $a=2$, maka $c=-2$. $a+b+c+d = 2+1+(-2)+1 = 2$. Jika $a=-2$, maka $c=2$. $a+b+c+d = -2+1+2+1 = 2$. Jika $b=-1$, maka $2(-1) - a^2 = -2 
ightarrow -2 - a^2 = -2 
ightarrow a^2 = 0 
ightarrow a = 0$. Ini kembali ke Kasus 1. Jadi, nilai $a+b+c+d$ bisa -2 atau 2 tergantung pada faktorisasi. Namun, faktorisasi standar dari $x^4 - 2x^2 + 1 = (x^2 - 1)^2$ memberikan $a=0, b=-1, c=0, d=-1$, sehingga $a+b+c+d = -2$.