- Jika titik O merupakan titik tengah dari garis AB ,

Jarak titik O ke bidang ACGE adalah s/2 (dengan asumsi bidang ADHE pada kubus) dan jarak garis AH ke garis FD adalah s*sqrt(6)/6, di mana 's' adalah panjang rusuk kubus.

Pembahasan

Untuk soal ini, kita perlu memahami konsep jarak dalam ruang.

Asumsikan kita memiliki kubus atau balok dengan titik-titik yang disebutkan. Namun, tanpa informasi mengenai bentuk geometris (misalnya, apakah ini kubus, balok, atau bangun ruang lainnya) dan dimensi spesifiknya, kita tidak dapat menghitung jarak secara pasti.

Misalkan kita mengasumsikan ini adalah sebuah kubus dengan panjang rusuk 's'. Titik O adalah titik tengah dari garis AB. Bidang ACGE adalah salah satu sisi tegak dari kubus.

Jika kita membayangkan kubus ABCD.EFGH:
A = (0, 0, s)
B = (s, 0, s)
C = (s, s, s)
G = (s, s, 0)
E = (0, 0, 0)

Titik tengah O dari AB akan berada di (s/2, 0, s).

Bidang ACGE dibentuk oleh titik-titik A, C, G, E. Jika kita ambil A=(0,0,0), maka C=(s,s,0), G=(s,s,s), E=(0,s,s). Bidang ACGE adalah bidang YZ jika A=(0,0,0), C=(0,s,0), G=(0,s,s), E=(0,0,s) - ini adalah sisi.

Mari kita buat asumsi yang lebih standar untuk penamaan titik kubus:
A(0,0,0), B(s,0,0), C(s,s,0), D(0,s,0), E(0,0,s), F(s,0,s), G(s,s,s), H(0,s,s).

- Jika titik O merupakan titik tengah dari garis AB:
  A = (0, 0, 0), B = (s, 0, 0)
  O = ((0+s)/2, (0+0)/2, (0+0)/2) = (s/2, 0, 0).

- Bidang ACGE dibentuk oleh titik A(0,0,0), C(s,s,0), G(s,s,s), E(0,0,s).
  Bidang ini sejajar dengan bidang x=0 dan x=s, namun terletak pada x=0 dan x=s. Bidang ACGE adalah bidang yang dibentuk oleh titik A, C, G, E. Jika kita lihat koordinatnya, bidang ini dibatasi oleh x=0 dan x=s, serta y=0 dan y=s, dan z=0 dan z=s. Ini adalah salah satu sisi (misal, sisi depan atau belakang).
  Jika A=(0,0,0), C=(s,s,0), G=(s,s,s), E=(0,0,s), maka bidang ACGE tidak membentuk bidang datar yang standar jika rusuknya tidak sejajar sumbu. 

  Dalam penamaan kubus standar, sisi-sisi adalah:
  ABCD (bawah), EFGH (atas)
  ABFE (depan), DCGH (belakang)
  ADHE (kiri), BCGF (kanan)

  Jika kita asumsikan bidang ACGE merujuk pada bidang diagonal, ini akan menjadi kompleks.
  Namun, jika kita mengasumsikan penamaan yang umum di mana ACGE adalah salah satu permukaan (misal, sisi ADHE atau BCGF jika penamaannya tidak berurutan), atau jika diasumsikan adalah bidang yang dibentuk oleh titik-titik yang ada pada diagonal bidang.

  Mari kita gunakan penamaan kubus yang umum: A(0,0,0), B(s,0,0), C(s,s,0), D(0,s,0), E(0,0,s), F(s,0,s), G(s,s,s), H(0,s,s).

  - Jarak titik O(s/2, 0, 0) ke bidang ACGE. Bidang ACGE di sini tidak terdefinisi dengan baik jika merujuk pada sisi kubus.
  Jika kita menganggap bidang ACGE adalah bidang yang dibentuk oleh diagonal ruang, ini juga tidak umum.

  Asumsi yang paling masuk akal adalah bahwa penanya merujuk pada salah satu sisi bidang tegak, misalnya ADHE atau BCGF.
  Jika bidang ACGE merujuk pada bidang yang dibentuk oleh A, C, G, E, maka ini adalah bidang diagonal ruang jika susunannya seperti itu.

  Jika kita asumsikan ACGE adalah bidang ADHE (sisi kiri), maka persamaan bidangnya adalah x=0. Jarak O(s/2, 0, 0) ke bidang x=0 adalah |s/2| = s/2.
  Jika kita asumsikan ACGE adalah bidang BCGF (sisi kanan), maka persamaan bidangnya adalah x=s. Jarak O(s/2, 0, 0) ke bidang x=s adalah |s - s/2| = s/2.
  Jika kita asumsikan ACGE adalah bidang ABCD (bawah), maka persamaan bidangnya adalah z=0. Jarak O(s/2, 0, 0) ke bidang z=0 adalah 0.
  Jika kita asumsikan ACGE adalah bidang EFGH (atas), maka persamaan bidangnya adalah z=s. Jarak O(s/2, 0, 0) ke bidang z=s adalah s.

  Jika ACGE merujuk pada diagonal bidang:
  Misalnya bidang ABCD, diagonalnya AC dan BD. Bidang ABFE, diagonalnya AF dan BE.

  Kemungkinan besar, soal ini merujuk pada sebuah kubus dengan titik-titik yang didefinisikan dengan jelas, dan bidang ACGE adalah salah satu bidang sisi tegak atau alas/tutup.
  Tanpa informasi dimensi (panjang rusuk 's'), kita tidak bisa memberikan nilai numerik.

  Mari kita buat asumsi paling umum: Kubus dengan panjang rusuk 's'. Titik O adalah titik tengah AB. Bidang ACGE adalah bidang ADHE.
  A=(0,0,0), B=(s,0,0), C=(s,s,0), D=(0,s,0), E=(0,0,s), F=(s,0,s), G=(s,s,s), H=(0,s,s).
  O = (s/2, 0, 0).
  Bidang ADHE memiliki persamaan x=0.
  Jarak titik (x0, y0, z0) ke bidang Ax+By+Cz+D=0 adalah |Ax0+By0+Cz0+D| / sqrt(A^2+B^2+C^2).
  Untuk bidang x=0 (1x + 0y + 0z + 0 = 0), jarak O(s/2, 0, 0) adalah |1*(s/2) + 0*0 + 0*0 + 0| / sqrt(1^2+0^2+0^2) = |s/2| / 1 = s/2.

- Menentukan jarak garis AH ke garis FD:
  Garis AH menghubungkan A(0,0,0) dan H(0,s,s).
  Garis FD menghubungkan F(s,0,s) dan D(0,s,0).

  Vektor AH = H - A = (0, s, s).
  Vektor FD = D - F = (0-s, s-0, 0-s) = (-s, s, -s).

  Garis AH dapat direpresentasikan sebagai: r1(t) = A + t * AH = (0, 0, 0) + t(0, s, s) = (0, st, st).
  Garis FD dapat direpresentasikan sebagai: r2(u) = F + u * FD = (s, 0, s) + u(-s, s, -s) = (s - us, us, s - us).

  Untuk mencari jarak antara dua garis skew (tidak sejajar dan tidak berpotongan), kita perlu mencari vektor yang tegak lurus terhadap kedua garis tersebut.
  Vektor normal n = AH x FD = (0, s, s) x (-s, s, -s)
  n = ( (s)(-s) - (s)(s), (s)(-s) - (0)(-s), (0)(s) - (s)(-s) )
  n = ( -s^2 - s^2, -s^2 - 0, 0 - (-s^2) )
  n = ( -2s^2, -s^2, s^2 )
  Kita bisa menyederhanakan vektor normal menjadi (-2, -1, 1) atau (2, 1, -1) dengan membagi dengan s^2 (dengan asumsi s != 0).
  Misalkan n = (2, 1, -1).

  Sekarang, kita ambil satu titik dari masing-masing garis, misalnya A(0,0,0) dari garis AH dan F(s,0,s) dari garis FD. Vektor AF = F - A = (s, 0, s).

  Jarak antara dua garis skew adalah proyeksi vektor AF pada vektor normal n:
  Jarak = | AF . n | / ||n||
  AF . n = (s, 0, s) . (2, 1, -1) = s*2 + 0*1 + s*(-1) = 2s - s = s.
  ||n|| = sqrt(2^2 + 1^2 + (-1)^2) = sqrt(4 + 1 + 1) = sqrt(6).

  Jarak = |s| / sqrt(6) = s / sqrt(6) = s*sqrt(6) / 6.

  Kesimpulan:
  1. Jarak titik O ke bidang ACGE (dengan asumsi bidang ADHE) adalah s/2.
  2. Jarak garis AH ke garis FD adalah s*sqrt(6) / 6.

  Tanpa nilai 's', jawaban akan dalam bentuk variabel. Jika ini adalah soal pilihan ganda atau soal yang mengharapkan nilai numerik, maka dimensi kubus harus diberikan.