Nilai dari ekspresi: sin(cos^-1(-1/3)) x tan(sin^-1(20/29))

40√2 / 63

Pembahasan

Untuk menyelesaikan ekspresi ini, kita perlu menggunakan identitas trigonometri dan definisi fungsi invers trigonometri.
Misalkan \( \alpha = \cos^{-1}(-1/3) \). Maka \( \cos(\alpha) = -1/3 \). Karena \( \cos^{-1} \) memiliki rentang \( [0, \pi] \), dan \( \cos(\alpha) \) negatif, maka \( \alpha \) berada di kuadran II. Dalam kuadran II, \( \sin(\alpha) \) positif.
Kita dapat menggunakan identitas \( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \) untuk mencari \( \sin(\alpha) \).
\( \sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha) = 1 - (-1/3)^2 = 1 - 1/9 = 8/9 \).
Karena \( \alpha \) di kuadran II, \( \sin(\alpha) = \sqrt{8/9} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \).
Jadi, \( \sin(\cos^{-1}(-1/3)) = \frac{2\sqrt{2}}{3} \).

Selanjutnya, misalkan \( \beta = \sin^{-1}(20/29) \). Maka \( \sin(\beta) = 20/29 \). Karena \( \sin^{-1} \) memiliki rentang \( [-\pi/2, \pi/2] \), dan \( \sin(\beta) \) positif, maka \( \beta \) berada di kuadran I. Dalam kuadran I, \( \tan(\beta) \) positif.
Kita dapat menggunakan identitas \( \tan(\beta) = \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)} \). Untuk mencari \( \cos(\beta) \), kita gunakan \( \cos^2(\beta) + \sin^2(\beta) = 1 \).
\( \cos^2(\beta) = 1 - \sin^2(\beta) = 1 - (20/29)^2 = 1 - 400/841 = (841 - 400) / 841 = 441/841 \).
Karena \( \beta \) di kuadran I, \( \cos(\beta) = \sqrt{441/841} = 21/29 \).
Jadi, \( \tan(\beta) = \frac{20/29}{21/29} = \frac{20}{21} \).
Jadi, \( \tan(\sin^{-1}(20/29)) = \frac{20}{21} \).

Terakhir, kita kalikan kedua hasil tersebut:
\( \sin(\cos^{-1}(-1/3)) \times \tan(\sin^{-1}(20/29)) = \frac{2\sqrt{2}}{3} \times \frac{20}{21} = \frac{40\sqrt{2}}{63} \).