Jika vektor a=3i-6j+2k berturut-turut membentuk sudut a, b,

α ≈ 64.62°, β ≈ 148.21°, γ ≈ 73.40°

Pembahasan

Untuk menentukan besar sudut yang dibentuk oleh vektor $\vec{a} = 3\mathbf{i} - 6\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$ dengan sumbu-sumbu X, Y, dan Z positif, kita perlu menghitung cosinus arah (direction cosines) dari vektor tersebut.

Besar (magnitudo) dari vektor $\vec{a}$ adalah:
$|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$
$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + (-6)^2 + 2^2}$
$|\vec{a}| = \sqrt{9 + 36 + 4}$
$|\vec{a}| = \sqrt{49}$
$|\vec{a}| = 7$

Cosinus arah ($\cos \alpha$, $\cos \beta$, $\cos \gamma$) dihitung dengan membagi setiap komponen vektor dengan besar vektornya:

1. Cosinus arah terhadap sumbu X (cos $\alpha$):
$\cos \alpha = a_x / |\vec{a}|$
$\cos \alpha = 3 / 7$

Untuk mencari besar sudut $\alpha$, kita gunakan fungsi arccos:
$\alpha = \arccos(3/7)$
$\alpha \approx 64.62^{\circ}$

2. Cosinus arah terhadap sumbu Y (cos $\beta$):
$\cos \beta = a_y / |\vec{a}|$
$\cos \beta = -6 / 7$

Untuk mencari besar sudut $\beta$, kita gunakan fungsi arccos:
$\beta = \arccos(-6/7)$
$\beta \approx 148.21^{\circ}$

3. Cosinus arah terhadap sumbu Z (cos $\gamma$):
$\cos \gamma = a_z / |\vec{a}|$
$\cos \gamma = 2 / 7$

Untuk mencari besar sudut $\gamma$, kita gunakan fungsi arccos:
$\gamma = \arccos(2/7)$
$\gamma \approx 73.40^{\circ}$

Jadi, besar sudut yang dibentuk vektor $\vec{a}$ dengan sumbu-sumbu X, Y, dan Z positif adalah:
$\alpha \approx 64.62^{\circ}$
$\beta \approx 148.21^{\circ}$
$\gamma \approx 73.40^{\circ}$