Jika x_(1) dan x_(2) adalah akar-akar 5^(x+1)+a .5^(1-x)=30

243

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan $5^{x+1}+a \cdot 5^{1-x}=30$ dan mengetahui bahwa $x_1 + x_2 = 3^5 \log 2$, kita perlu menyederhanakan persamaan terlebih dahulu. Misalkan $y = 5^x$. Maka persamaan menjadi:
$5 \cdot 5^x + a \cdot \frac{5}{5^x} = 30$
$5y + \frac{5a}{y} = 30$
Kalikan kedua sisi dengan y:
$5y^2 + 5a = 30y$
$5y^2 - 30y + 5a = 0$
Bagi dengan 5:
$y^2 - 6y + a = 0$
Karena $y = 5^x$, maka akar-akar persamaan kuadrat ini dalam variabel y adalah $y_1 = 5^{x_1}$ dan $y_2 = 5^{x_2}$.

Dari sifat akar-akar persamaan kuadrat:
$y_1 \cdot y_2 = a$
$5^{x_1} \cdot 5^{x_2} = a$
$5^{x_1+x_2} = a$

Diketahui bahwa $x_1 + x_2 = 3^5 \log 2$. Nilai $3^5 = 243$. Jadi, $x_1 + x_2 = 243 \log 2$. Namun, ini terlihat seperti kesalahan penulisan soal, karena biasanya bentuk logaritma yang relevan adalah $^b \log b = 1$. Mari kita asumsikan bahwa yang dimaksud adalah $x_1+x_2 = \log_5(3^5)$ atau $x_1+x_2 = 5$. Jika kita mengasumsikan $x_1+x_2 = 5$, maka:
$a = 5^5 = 3125$.

Jika kita mengikuti persis apa yang tertulis, yaitu $x_1 + x_2 = 3^5 	ext{ log } 2$, maka ini merupakan nilai numerik yang tidak dapat disederhanakan lebih lanjut tanpa konteks basis logaritma. Namun, jika kita menginterpretasikan bahwa $3^5$ adalah basis logaritma, yaitu $x_1+x_2 = 	ext{log}_{243} 2$, ini juga tidak umum. Jika yang dimaksud adalah $x_1+x_2 = 	ext{log} (2^{3^5})$ atau $x_1+x_2 = 3^5 	ext{ log } 2$ dimana log adalah $	ext{log}_{10}$, maka $a = 5^{3^5 	ext{ log } 2} = 5^{	ext{log } 2^{243}} = 5^{	ext{log } 2^{243}}$.

Namun, jika kita melihat struktur soal yang umum di tingkat SMA, seringkali ada hubungan yang lebih sederhana. Mari kita pertimbangkan kemungkinan lain. Jika persamaan adalah $5^{x+1} + a 	imes 5^{1-x} = 30$ dan akar-akarnya memenuhi $x_1 + x_2 = k$ (suatu konstanta), maka biasanya ada cara untuk menemukan $a$. Jika kita kembali ke $y^2 - 6y + a = 0$, akar-akarnya adalah $y_1=5^{x_1}$ dan $y_2=5^{x_2}$. Maka $y_1 y_2 = 5^{x_1+x_2} = a$.

Jika kita menganggap ada kesalahan ketik dan $x_1+x_2=2$, maka $a = 5^2 = 25$. Jika $x_1+x_2=1$, maka $a=5^1=5$.

Mengacu pada format soal ujian yang umum, ada kemungkinan bahwa $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar dari persamaan $5^x = y$, sehingga kita perlu $x_1+x_2$ untuk menemukan $a$. Kemungkinan lain adalah $x_1$ dan $x_2$ adalah solusi dari persamaan dalam $x$. Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar dari $y^2 - 6y + a = 0$ dalam variabel $y$, maka $y_1 = 5^{x_1}$ dan $y_2 = 5^{x_2}$, sehingga $y_1 y_2 = 5^{x_1+x_2} = a$.

Dengan asumsi bahwa $x_1+x_2 = 	ext{log}_5(3^5) = 5 	ext{ log }_5 3$, maka $a = 5^{5 	ext{ log}_5 3} = (5^{	ext{log}_5 3})^5 = 3^5 = 243$. Ini adalah interpretasi yang paling masuk akal jika soal dirancang untuk memiliki solusi yang 'bersih'. Namun, soal tertulis $x_1+x_2 = 3^5 	ext{ log } 2$. Jika kita ambil $x_1+x_2 = 	ext{log}(2^{243})$ dengan basis 10, maka $a = 5^{	ext{log}_{10}(2^{243})}$. Ini adalah hasil yang sangat tidak umum.

Mari kita pertimbangkan kasus jika $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar dari $y^2-6y+a=0$, dan $y_1=5^{x_1}$, $y_2=5^{x_2}$. Dari sifat akar, $y_1+y_2 = 6$ dan $y_1y_2 = a$. Kita punya $5^{x_1} + 5^{x_2} = 6$ dan $5^{x_1} 	imes 5^{x_2} = 5^{x_1+x_2} = a$. Jika $x_1+x_2 = 3^5 	ext{ log } 2$, maka $a = 5^{3^5 	ext{ log } 2}$. Tanpa basis logaritma yang jelas, sulit untuk melanjutkan. Namun, jika kita mengasumsikan bahwa $x_1$ dan $x_2$ adalah akar dari persamaan $5^{x+1} + a 	imes 5^{1-x} = 30$ dan $x_1+x_2=5$, maka $a = 5^5 = 3125$.

Jika kita mengasumsikan bahwa $x_1$ dan $x_2$ adalah solusi dari persamaan $y^2-6y+a=0$ di mana $y=5^x$, dan $x_1+x_2 = 	ext{log}_{5}(K)$ untuk suatu K, maka $a=K$. Jika $x_1+x_2 = 5 	ext{ log}_5 3 = 	ext{log}_5 3^5$, maka $a=3^5=243$.

Mari kita gunakan interpretasi bahwa $x_1+x_2 = 	ext{log}_5(3^5)$. Maka $a = 5^{x_1+x_2} = 5^{	ext{log}_5(3^5)} = 3^5 = 243$. Ini adalah jawaban yang paling mungkin jika soal dirancang dengan baik.