Jika (x, y)=(a, b) adalah penyelesaian dari sistem

Jumlah a+b adalah -4/21.

Pembahasan

Kita diberikan sistem persamaan:
1) 2xy - y^2 + 5x + 20 = 0
2) 3x + 2y - 3 = 0

Kita ingin mencari solusi (x, y) = (a, b) di mana a dan b bukan bilangan bulat, dan kemudian menjumlahkan semua nilai a+b tersebut.

Dari persamaan (2), kita bisa ekspresikan salah satu variabel dalam bentuk variabel lain. Mari kita ekspresikan y dalam bentuk x:
2y = 3 - 3x
y = (3 - 3x) / 2

Substitusikan ekspresi y ini ke dalam persamaan (1):
2x * ((3 - 3x) / 2) - ((3 - 3x) / 2)^2 + 5x + 20 = 0

Sederhanakan suku pertama:
x * (3 - 3x) = 3x - 3x^2

Sederhanakan suku kedua:
((3 - 3x) / 2)^2 = (9 - 18x + 9x^2) / 4

Sekarang substitusikan kembali ke persamaan:
(3x - 3x^2) - (9 - 18x + 9x^2) / 4 + 5x + 20 = 0

Kalikan seluruh persamaan dengan 4 untuk menghilangkan penyebut:
4 * (3x - 3x^2) - (9 - 18x + 9x^2) + 4 * (5x + 20) = 0
12x - 12x^2 - 9 + 18x - 9x^2 + 20x + 80 = 0

Gabungkan suku-suku yang sejenis:
(-12x^2 - 9x^2) + (12x + 18x + 20x) + (-9 + 80) = 0
-21x^2 + 50x + 71 = 0

Kalikan dengan -1 agar koefisien x^2 positif:
21x^2 - 50x - 71 = 0

Ini adalah persamaan kuadrat untuk x. Kita bisa mencari nilai x menggunakan rumus kuadratik: x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a
Di sini, a = 21, b = -50, c = -71.

Diskriminan (D) = b^2 - 4ac
D = (-50)^2 - 4 * 21 * (-71)
D = 2500 + 84 * 71
D = 2500 + 5964
D = 8464

sqrt(D) = sqrt(8464)
Mari kita coba cari akar kuadrat dari 8464.
90^2 = 8100, 95^2 = 9025. Angka terakhir adalah 4, jadi kemungkinan berakhir dengan 2 atau 8.
Coba 92^2 = (90+2)^2 = 8100 + 360 + 4 = 8464. Jadi sqrt(8464) = 92.

x = [ -(-50) ± 92 ] / (2 * 21)
x = [ 50 ± 92 ] / 42

Kita punya dua nilai untuk x:
x1 = (50 + 92) / 42 = 142 / 42 = 71 / 21
x2 = (50 - 92) / 42 = -42 / 42 = -1

Sekarang kita cari nilai y yang bersesuaian menggunakan y = (3 - 3x) / 2.

Untuk x1 = 71/21:
y1 = (3 - 3 * (71/21)) / 2
y1 = (3 - 71/7) / 2
y1 = ((21 - 71) / 7) / 2
y1 = (-50 / 7) / 2
y1 = -50 / 14 = -25 / 7

Jadi, solusi pertama adalah (x1, y1) = (71/21, -25/7).
Apakah kedua nilai ini bukan bilangan bulat? Ya, 71/21 dan -25/7 bukan bilangan bulat.

Untuk x2 = -1:
y2 = (3 - 3 * (-1)) / 2
y2 = (3 + 3) / 2
y2 = 6 / 2
y2 = 3

Jadi, solusi kedua adalah (x2, y2) = (-1, 3).
Apakah kedua nilai ini bukan bilangan bulat? Tidak, keduanya adalah bilangan bulat.

Kita hanya tertarik pada solusi di mana a dan b bukan bilangan bulat. Jadi, kita hanya mempertimbangkan solusi pertama (a, b) = (71/21, -25/7).

Kita perlu mencari jumlah semua a+b dimana a dan b bukan bilangan bulat.
Dalam kasus ini, hanya ada satu pasangan (a, b) yang memenuhi syarat tersebut.

a + b = 71/21 + (-25/7)
Untuk menjumlahkan, kita samakan penyebutnya:
-25/7 = (-25 * 3) / (7 * 3) = -75/21

a + b = 71/21 - 75/21
a + b = (71 - 75) / 21
a + b = -4 / 21

Jadi, jumlah semua a+b dimana a dan b bukan bilangan bulat adalah -4/21.