Jika (x, y, z) memenuhi sistem persamaan

Nilai dari $(x-1)^2+(y+2)^2+z^2$ adalah 16.

Pembahasan

Misalkan $u = \frac{1}{(x-1)^2}$, $v = \frac{1}{(y+2)^2}$, dan $w = \frac{1}{z^2}$.
Sistem persamaan dapat ditulis ulang sebagai:
1) $2u + 4v + 5w = 9/4$
2) $4u - 2v - w = 1/2$
3) $3u + 6v - 2w = 1$

Kita dapat menggunakan metode eliminasi atau substitusi untuk menyelesaikan sistem ini.

Kalikan Persamaan (2) dengan 2:
$8u - 4v - 2w = 1$ (Persamaan 2')

Tambahkan Persamaan (1) dan Persamaan (2'):
$(2u + 4v + 5w) + (8u - 4v - 2w) = 9/4 + 1$
$10u + 3w = 13/4$ (Persamaan 4)

Kalikan Persamaan (2) dengan 3:
$12u - 6v - 3w = 3/2$ (Persamaan 2'')

Tambahkan Persamaan (3) dan Persamaan (2''):
$(3u + 6v - 2w) + (12u - 6v - 3w) = 1 + 3/2$
$15u - 5w = 5/2$ (Persamaan 5)

Sekarang kita memiliki sistem persamaan dengan u dan w:
4) $10u + 3w = 13/4$
5) $15u - 5w = 5/2$

Kalikan Persamaan (4) dengan 5 dan Persamaan (5) dengan 3:
$50u + 15w = 65/4$
$45u - 15w = 15/2$

Tambahkan kedua persamaan baru tersebut:
$(50u + 15w) + (45u - 15w) = 65/4 + 15/2$
$95u = 65/4 + 30/4$
$95u = 95/4$
$u = 1/4$

Substitusikan nilai u ke Persamaan (4):
$10(1/4) + 3w = 13/4$
$10/4 + 3w = 13/4$
$3w = 13/4 - 10/4$
$3w = 3/4$
$w = 1/4$

Substitusikan nilai u dan w ke Persamaan (2) untuk mencari v:
$4u - 2v - w = 1/2$
$4(1/4) - 2v - 1/4 = 1/2$
$1 - 2v - 1/4 = 1/2$
$3/4 - 2v = 1/2$
$-2v = 1/2 - 3/4$
$-2v = 2/4 - 3/4$
$-2v = -1/4$
$v = 1/8$

Sekarang kita kembali ke variabel asli:
$u = \frac{1}{(x-1)^2} = 1/4 	\implies (x-1)^2 = 4$
$v = \frac{1}{(y+2)^2} = 1/8 	\implies (y+2)^2 = 8$
$w = \frac{1}{z^2} = 1/4 	\implies z^2 = 4$

Kita perlu mencari nilai dari $(x-1)^2+(y+2)^2+z^2$:
$(x-1)^2+(y+2)^2+z^2 = 4 + 8 + 4 = 16$

Jadi, nilai dari $(x-1)^2+(y+2)^2+z^2$ adalah 16.