Jika xk+1=xk+1/2 untuk k=1,2,3, .... dan x1=1 , maka nilai

40300

Pembahasan

Diberikan relasi rekursif $x_{k+1} = x_k + rac{1}{2}$ untuk $k=1, 2, 3, 	extrm{ldots}$, dan kondisi awal $x_1 = 1$. Kita diminta untuk mencari nilai dari jumlah 400 suku pertama, yaitu $S_{400} = x_1 + x_2 + x_3 + 	extrm{ldots} + x_{400}$.

Relasi $x_{k+1} = x_k + rac{1}{2}$ menunjukkan bahwa setiap suku berikutnya diperoleh dengan menambahkan $rac{1}{2}$ ke suku sebelumnya. Ini adalah definisi dari barisan aritmetika dengan:
- Suku pertama ($a$) = $x_1 = 1$
- Beda ($d$) = $rac{1}{2}$

Rumus umum suku ke-$n$ dari barisan aritmetika adalah $x_n = a + (n-1)d$.
Maka, suku ke-$k$ adalah $x_k = x_1 + (k-1)d = 1 + (k-1)rac{1}{2}$.

Kita perlu mencari jumlah 400 suku pertama. Rumus jumlah $n$ suku pertama dari barisan aritmetika adalah:
$S_n = rac{n}{2} [2a + (n-1)d]$
Atau
$S_n = rac{n}{2} [a + x_n]$

Gunakan rumus pertama dengan $n=400$, $a=1$, dan $d=rac{1}{2}$:
$S_{400} = rac{400}{2} [2(1) + (400-1)rac{1}{2}]$
$S_{400} = 200 [2 + (399)rac{1}{2}]$
$S_{400} = 200 [2 + rac{399}{2}]$

Untuk menjumlahkan di dalam kurung, samakan penyebutnya:
$S_{400} = 200 [rac{4}{2} + rac{399}{2}]$
$S_{400} = 200 [rac{4+399}{2}]$
$S_{400} = 200 [rac{403}{2}]$

Sekarang, lakukan perkalian:
$S_{400} = rac{200 	imes 403}{2}$
$S_{400} = 100 	imes 403$
$S_{400} = 40300$

Jadi, nilai dari $x_1 + x_2 + x_3 + 	extrm{ldots} + x_{400}$ adalah 40300.