Nilai dari limit x mendekati tak hingga x^2(sec(2/x)-1)

Nilai limitnya adalah 2.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit \(\lim_{x\to\infty} x^2(\sec(2/x)-1)\), kita dapat menggunakan substitusi atau manipulasi aljabar.

Metode 1: Menggunakan substitusi.
Misalkan u = 2/x. Ketika x mendekati tak hingga (x → ∞), maka u mendekati 0 (u → 0).
Dari u = 2/x, kita dapatkan x = 2/u.

Limit menjadi:
\(\lim_{u\to 0} (2/u)^2 (\sec(u) - 1)\)
\(\lim_{u\to 0} (4/u^2) (1/\cos(u) - 1)\)

Sekarang kita samakan penyebut di dalam kurung:
\(\lim_{u\to 0} (4/u^2) ((1 - \cos(u))/\cos(u))\)

Gunakan identitas trigonometri \(\cos(u) = 1 - 2\sin^2(u/2)\).

\(\lim_{u\to 0} (4/u^2) ((1 - (1 - 2\sin^2(u/2)))/\cos(u))\)
\(\lim_{u\to 0} (4/u^2) (2\sin^2(u/2)/\cos(u))\)
\(\lim_{u\to 0} (8\sin^2(u/2))/(u^2 \cos(u))\)

Kita tahu bahwa \(\lim_{θ\to 0} \sin(θ)/θ = 1\). Maka, \(\sin^2(u/2)\) memerlukan \((u/2)^2 = u^2/4\) di penyebutnya.

Kita bisa tulis ulang limitnya sebagai:
\(\lim_{u\to 0} 8 * (\sin(u/2)/(u/2))^2 * (1/4) * (1/\cos(u))\)

Karena \(u^2\) di penyebut, kita perlu \((u/2)^2\) yang setara dengan \(u^2/4\). Jadi, kita kalikan dengan 4/4:
\(\lim_{u\to 0} 8 * (\sin(u/2))^2 / (u^2) * (1/\cos(u))\)
\(\lim_{u\to 0} 8 * (\sin(u/2)/(u/2) * (1/2))^2 * (1/\cos(u))\)
\(\lim_{u\to 0} 8 * (1 * (1/2))^2 * (1/\cos(u))\)
\(\lim_{u\to 0} 8 * (1/4) * (1/\cos(u))\)
\(\lim_{u\to 0} 2 * (1/\cos(u))\)

Karena \(\cos(0) = 1\):
\(2 * (1/1) = 2\)

Metode 2: Menggunakan Taylor Series (untuk sec(x)).
Deret Taylor untuk sec(x) di sekitar x=0 adalah \(1 + x^2/2 + ...\).
Jadi, sec(2/x) di sekitar 2/x = 0 adalah \(1 + (2/x)^2/2 + ... = 1 + (4/x^2)/2 + ... = 1 + 2/x^2 + ...\).

\(\lim_{x\to\infty} x^2(\sec(2/x)-1)\)
\(\lim_{x\to\infty} x^2((1 + 2/x^2 + ...) - 1)\)
\(\lim_{x\to\infty} x^2(2/x^2 + ...)\)
\(\lim_{x\to\infty} (2 + ...)\)
\(= 2\)

Jadi, nilai dari limit tersebut adalah 2.