Jika y=2x^3-2x^2-2x-3, maka tentukan titik balik maksimum

Titik balik maksimum: (-1/3, -71/27), Titik balik minimum: (1, -5)

Pembahasan

Untuk menentukan titik balik maksimum dan minimum dari fungsi y = 2x^3 - 2x^2 - 2x - 3, kita perlu menggunakan turunan pertama dan kedua.

1. **Turunan Pertama (y'):**
   Turunan pertama dari y terhadap x adalah:
   y' = d/dx (2x^3 - 2x^2 - 2x - 3)
   y' = 6x^2 - 4x - 2

2. **Cari Titik Stasioner:**
   Titik balik (ekstrim) terjadi ketika y' = 0. Jadi, kita selesaikan persamaan:
   6x^2 - 4x - 2 = 0
   Kita bisa menyederhanakan persamaan ini dengan membagi semua suku dengan 2:
   3x^2 - 2x - 1 = 0
   Faktorkan persamaan kuadrat ini:
   (3x + 1)(x - 1) = 0
   Ini memberikan dua solusi untuk x:
   3x + 1 = 0  => x = -1/3
   x - 1 = 0   => x = 1

   Jadi, titik stasioner terjadi pada x = -1/3 dan x = 1.

3. **Turunan Kedua (y''):**
   Untuk menentukan apakah titik-titik stasioner ini adalah maksimum atau minimum, kita cari turunan kedua:
   y'' = d/dx (6x^2 - 4x - 2)
   y'' = 12x - 4

4. **Uji Titik Stasioner dengan Turunan Kedua:**
   Evaluasi y'' pada x = -1/3:
   y''(-1/3) = 12(-1/3) - 4 = -4 - 4 = -8.
   Karena y''(-1/3) < 0, maka pada x = -1/3 terdapat titik balik maksimum.

   Evaluasi y'' pada x = 1:
   y''(1) = 12(1) - 4 = 12 - 4 = 8.
   Karena y''(1) > 0, maka pada x = 1 terdapat titik balik minimum.

5. **Cari Nilai y pada Titik Stasioner:**
   Untuk x = -1/3:
   y = 2(-1/3)^3 - 2(-1/3)^2 - 2(-1/3) - 3
   y = 2(-1/27) - 2(1/9) + 2/3 - 3
   y = -2/27 - 2/9 + 2/3 - 3
   Samakan penyebutnya menjadi 27:
   y = -2/27 - 6/27 + 18/27 - 81/27
   y = (-2 - 6 + 18 - 81) / 27
   y = -71/27
   Jadi, titik balik maksimum adalah (-1/3, -71/27).

   Untuk x = 1:
   y = 2(1)^3 - 2(1)^2 - 2(1) - 3
   y = 2 - 2 - 2 - 3
   y = -5
   Jadi, titik balik minimum adalah (1, -5).

Kesimpulan:
Titik balik maksimum berada di (-1/3, -71/27).
Titik balik minimum berada di (1, -5).