Jika y=(x^2+3 x+1)(x^3+2 x+1) maka y'=...

y' = 5x^4 + 12x^3 + 9x^2 + 12x + 5

Pembahasan

Untuk mencari turunan pertama (y') dari fungsi y = (x^2 + 3x + 1)(x^3 + 2x + 1), kita akan menggunakan aturan perkalian (product rule) dalam kalkulus. Aturan perkalian menyatakan bahwa jika y = u * v, maka y' = u'v + uv'.
Misalkan:
u = x^2 + 3x + 1
v = x^3 + 2x + 1

Langkah 1: Cari turunan dari u (u') dan v (v').
- Turunan dari u (u'): Gunakan aturan pangkat (d/dx x^n = nx^(n-1)) dan konstanta (d/dx c = 0).
u' = d/dx (x^2 + 3x + 1) = 2x^(2-1) + 3x^(1-1) + 0 = 2x + 3
- Turunan dari v (v'):
v' = d/dx (x^3 + 2x + 1) = 3x^(3-1) + 2x^(1-1) + 0 = 3x^2 + 2

Langkah 2: Terapkan aturan perkalian y' = u'v + uv'.
y' = (2x + 3)(x^3 + 2x + 1) + (x^2 + 3x + 1)(3x^2 + 2)

Langkah 3: Lakukan perkalian.
- (2x + 3)(x^3 + 2x + 1) = 2x(x^3 + 2x + 1) + 3(x^3 + 2x + 1)
  = (2x^4 + 4x^2 + 2x) + (3x^3 + 6x + 3)
  = 2x^4 + 3x^3 + 4x^2 + 6x + 3

- (x^2 + 3x + 1)(3x^2 + 2) = x^2(3x^2 + 2) + 3x(3x^2 + 2) + 1(3x^2 + 2)
  = (3x^4 + 2x^2) + (9x^3 + 6x) + (3x^2 + 2)
  = 3x^4 + 9x^3 + 5x^2 + 6x + 2

Langkah 4: Jumlahkan kedua hasil perkalian.
y' = (2x^4 + 3x^3 + 4x^2 + 6x + 3) + (3x^4 + 9x^3 + 5x^2 + 6x + 2)
y' = (2x^4 + 3x^4) + (3x^3 + 9x^3) + (4x^2 + 5x^2) + (6x + 6x) + (3 + 2)
y' = 5x^4 + 12x^3 + 9x^2 + 12x + 5

Jadi, jika y = (x^2 + 3x + 1)(x^3 + 2x + 1), maka y' = 5x^4 + 12x^3 + 9x^2 + 12x + 5.