Jumlah pertama lima suku barisan suatu aritmetika naik

4

Pembahasan

Misalkan barisan aritmetika tersebut adalah $a, a+b, a+2b, a+3b, a+4b$.
Jumlah lima suku pertama adalah 40, maka $\frac{5}{2}(2a + (5-1)b) = 40$
$\frac{5}{2}(2a + 4b) = 40$
$5(a + 2b) = 40$
$a + 2b = 8$ (Persamaan 1)

Suku ke-2 ditambah 2 menjadi $a+b+2$. Suku ke-3 ditambah 8 menjadi $a+2b+8$.
Barisan aritmetika berubah menjadi barisan geometri: $a, a+b+2, a+2b+8$.
Karena merupakan barisan geometri, maka $\frac{a+b+2}{a} = \frac{a+2b+8}{a+b+2}$
$(a+b+2)^2 = a(a+2b+8)$
$(a+b+2)^2 = a^2 + 2ab + 8a$
$a^2 + b^2 + 4 + 2ab + 4a + 2b = a^2 + 2ab + 8a$
$b^2 + 4 + 4a + 2b = 8a$
$b^2 + 2b + 4 = 4a$ (Persamaan 2)

Dari Persamaan 1, $a = 8 - 2b$. Substitusikan ke Persamaan 2:
$b^2 + 2b + 4 = 4(8 - 2b)$
$b^2 + 2b + 4 = 32 - 8b$
$b^2 + 10b - 28 = 0$

Kita perlu mencari selisih suku ke-5 dan suku ke-3 barisan aritmetika, yaitu $(a+4b) - (a+2b) = 2b$.
Dari Persamaan 1, $a = 8 - 2b$. Substitusikan $a+2b = 8$ ke dalam persamaan geometri.
Barisan geometrinya menjadi: $a, a+b+2, 8+8=16$. Ini tidak tepat.

Mari kita gunakan $a+2b=8$. Persamaan geometrinya adalah $a, a+b+2, 16$.
$rac{a+b+2}{a} = rac{16}{a+b+2}$
$(a+b+2)^2 = 16a$
$a^2 + b^2 + 4 + 2ab + 4a + 2b = 16a$
$a^2 + b^2 + 2ab + 2b - 12a + 4 = 0$
Substitusikan $a = 8 - 2b$:
$(8-2b)^2 + b^2 + 2(8-2b)b + 2b - 12(8-2b) + 4 = 0$
$64 - 32b + 4b^2 + b^2 + 16b - 4b^2 + 2b - 96 + 24b + 4 = 0$
$b^2 + (-32+16+2+24)b + (64-96+4) = 0$
$b^2 + 0b - 28 = 0$
$b^2 = 28$
$b = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$

Selisih suku ke-5 dan suku ke-3 adalah $2b = 2(2\sqrt{7}) = 4\sqrt{7}$.

Mari kita periksa kembali langkahnya. Ada kesalahan dalam interpretasi soal atau perhitungan.

Misalkan barisan aritmetika adalah $U_1, U_2, U_3, U_4, U_5$. Jumlah 5 suku pertama adalah 40.
$S_5 = \frac{5}{2}(U_1 + U_5) = \frac{5}{2}(2U_1 + 4b) = 5(U_1 + 2b) = 40 
=> U_1 + 2b = 8$. Ini berarti $U_3 = 8$.

Barisan aritmetika: $U_1, U_2, 8, U_4, U_5$.
Setelah modifikasi: $U_1, U_2+2, 8+8$. Menjadi barisan geometri.
Barisan geometri: $U_1, U_1+b+2, 16$.
Karena merupakan barisan geometri, $\frac{U_1+b+2}{U_1} = \frac{16}{U_1+b+2}$
$(U_1+b+2)^2 = 16 U_1$
Substitusikan $U_1 = 8-2b$:
$(8-2b+b+2)^2 = 16(8-2b)$
$(10-b)^2 = 128 - 32b$
$100 - 20b + b^2 = 128 - 32b$
$b^2 + 12b - 28 = 0$

Selisih suku ke-5 dan suku ke-3 barisan aritmetika adalah $U_5 - U_3 = (U_1+4b) - (U_1+2b) = 2b$.
Kita perlu mencari nilai $b$ dari persamaan kuadrat $b^2 + 12b - 28 = 0$.
Menggunakan rumus kuadratik: $b = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4(1)(-28)}}{2(1)}$
$b = \frac{-12 \pm \sqrt{144 + 112}}{2}$
$b = \frac{-12 \pm \sqrt{256}}{2}$
$b = \frac{-12 \pm 16}{2}$

Karena barisan aritmetika naik, maka $b > 0$. Maka $b = \frac{-12 + 16}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Selisih suku ke-5 dan suku ke-3 adalah $2b = 2(2) = 4$.