Jumlah semua suku suatu deret geometri tak berhingga adalah

Suku pertama deret geometri tersebut adalah 3.

Pembahasan

Misalkan deret geometri tak berhingga tersebut adalah a, ar, ar², ar³, ...
Jumlah semua suku (S∞) adalah $\frac{a}{1-r}$, di mana |r| < 1.
Diketahui S∞ = 6, sehingga $\frac{a}{1-r} = 6$ (Persamaan 1).

Jumlah suku-suku bernomor genap adalah suku kedua, keempat, keenam, dst., yaitu ar, ar³, ar⁵, ...
Ini adalah deret geometri tak berhingga dengan suku pertama ar dan rasio r².
Jumlah suku bernomor genap (S_genap) adalah $\frac{ar}{1-r^2}$.
Diketahui S_genap = 2, sehingga $\frac{ar}{1-r^2} = 2$ (Persamaan 2).

Kita punya dua persamaan:
1) $\frac{a}{1-r} = 6 
 2) \frac{ar}{1-r^2} = 2$

Dari Persamaan 1, kita bisa dapatkan $a = 6(1-r)$.
Substitusikan nilai 'a' ini ke Persamaan 2:
$\frac{6(1-r)r}{1-r^2} = 2$
Kita tahu bahwa $1-r^2 = (1-r)(1+r)$. Maka:
$\frac{6(1-r)r}{(1-r)(1+r)} = 2$
Karena |r| < 1, maka $1-r \neq 0$, sehingga bisa dicoret:
$\frac{6r}{1+r} = 2$
$6r = 2(1+r)$
$6r = 2 + 2r$
$6r - 2r = 2$
$4r = 2$
$r = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Sekarang kita substitusikan nilai r kembali ke Persamaan 1 untuk mencari 'a':
$\frac{a}{1-\frac{1}{2}} = 6$
$\frac{a}{\frac{1}{2}} = 6$
$a = 6 \times \frac{1}{2}$
$a = 3$

Jadi, suku pertama deret tersebut adalah 3.