Kalian tahu bahwa mean (rata-rata) dari data yang tersaji

Rumus varians data berkelompok S² = 1/n{Σ(xᵢ²fᵢ) - (Σxᵢfᵢ)²/n} dibuktikan dengan menjabarkan definisi varians S² = [Σ(xᵢ - μ)² fᵢ] / n dan mensubstitusikan μ = (Σxᵢfᵢ) / n, lalu menyederhanakannya.

Pembahasan

Untuk membuktikan rumus varians data berkelompok S^2 = 1/n {σ(xᵢ)²fᵢ - (σxᵢfᵢ)²/n}, kita mulai dari definisi varians sebagai rata-rata dari kuadrat selisih antara setiap nilai data dengan mean.

Misalkan kita memiliki data berkelompok dengan r kelas interval, di mana xᵢ adalah nilai tengah kelas ke-i, fᵢ adalah frekuensi kelas ke-i, dan n = Σfᵢ adalah jumlah total data.

Rumus varians untuk data berkelompok adalah:
S² = [Σᵢ<0xE2><0x82><0x9D>₁ʳ (xᵢ - μ)² fᵢ] / n

Di mana μ adalah mean dari data berkelompok, yang diberikan oleh:
μ = (Σᵢ<0xE2><0x82><0x9D>₁ʳ xᵢ fᵢ) / n

Sekarang, kita ekspansikan kuadrat selisih di dalam rumus varians:
S² = [Σᵢ<0xE2><0x82><0x9D>₁ʳ (xᵢ² - 2xᵢμ + μ²) fᵢ] / n

Kita distribusikan fᵢ ke dalam:
S² = [Σᵢ<0xE2><0x82><0x9D>₁ʳ (xᵢ²fᵢ - 2xᵢμfᵢ + μ²fᵢ)] / n

Kemudian, kita pisahkan penjumlahan:
S² = [Σᵢ<0xE2><0x82><0x9D>₁ʳ xᵢ²fᵢ - Σᵢ<0xE2><0x82><0x9D>₁ʳ 2xᵢμfᵢ + Σᵢ<0xE2><0x82><0x9D>₁ʳ μ²fᵢ] / n

Karena 2μ dan μ² adalah konstanta terhadap penjumlahan, kita bisa mengeluarkannya:
S² = [Σᵢ<0xE2><0x82><0x9D>₁ʳ xᵢ²fᵢ - 2μ Σᵢ<0xE2><0x82><0x9D>₁ʳ xᵢfᵢ + μ² Σᵢ<0xE2><0x82><0x9D>₁ʳ fᵢ] / n

Kita tahu bahwa Σfᵢ = n dan μ = (Σxᵢfᵢ) / n.
Kita substitusikan μ:
S² = [Σxᵢ²fᵢ - 2((Σxᵢfᵢ)/n) Σxᵢfᵢ + ((Σxᵢfᵢ)/n)² n] / n

Sederhanakan:
S² = [Σxᵢ²fᵢ - 2(Σxᵢfᵢ)²/n + (Σxᵢfᵢ)²/n² * n] / n

S² = [Σxᵢ²fᵢ - 2(Σxᵢfᵢ)²/n + (Σxᵢfᵢ)²/n] / n

S² = [Σxᵢ²fᵢ - (Σxᵢfᵢ)²/n] / n

Terakhir, kita distribusikan pembagian dengan n:
S² = (1/n) [Σxᵢ²fᵢ - (Σxᵢfᵢ)²/n]

Ini membuktikan rumus varians data berkelompok yang diminta.