Kerjakan soal berikut dengan teman sebangkumu. Perhatikan

Hasil kali gradien dua garis yang saling tegak lurus adalah -1. Dengan menggunakan konsep gradien dan hasil kali titik vektor, dapat dibuktikan bahwa (yA/xA) * (yB/xB) = -1.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa hasil kali gradien garis g dan h adalah -1, kita perlu menggunakan konsep gradien dari dua titik yang diketahui.

Gradien (m) sebuah garis yang melalui dua titik (x1, y1) dan (x2, y2) dihitung dengan rumus:
m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Untuk garis g yang melalui titik O(0,0) dan A(xA, yA):
Gradien garis g (mg) = (yA - 0) / (xA - 0) = yA / xA

Untuk garis h yang melalui titik O(0,0) dan B(xB, yB):
Gradien garis h (mh) = (yB - 0) / (xB - 0) = yB / xB

Karena sudut AOB = 90 derajat, maka garis g dan garis h saling tegak lurus. Dua garis yang saling tegak lurus memiliki hasil kali gradien -1. Namun, dalam soal ini, garis g dan h tidak melalui titik O dan B secara langsung, melainkan garis g melalui O dan A, dan garis h melalui O dan B. Ini berarti O, A, dan B membentuk segitiga siku-siku di O.

Jika kita menganggap garis g adalah garis OA dan garis h adalah garis OB, dan karena sudut AOB = 90 derajat, maka kedua garis tersebut tegak lurus.

Gradien garis g (m_g) = (y_A - 0) / (x_A - 0) = y_A / x_A
Gradien garis h (m_h) = (y_B - 0) / (x_B - 0) = y_B / x_B

Hasil kali gradien kedua garis tersebut adalah:
m_g * m_h = (y_A / x_A) * (y_B / x_B)

Karena garis g dan h tegak lurus, hasil kali gradiennya harus -1.

Namun, berdasarkan gambar, garis g dan h sepertinya adalah garis yang melewati titik A dan B serta O. Jika garis g melewati O dan A, serta garis h melewati O dan B, dan sudut AOB adalah 90 derajat, maka gradiennya adalah:
m_g = yA/xA
m_h = yB/xB

Untuk membuktikan hasil kali gradiennya -1, kita perlu informasi lebih lanjut atau asumsi bahwa A dan B terletak pada sumbu yang berbeda, atau bahwa garis g dan h merujuk pada garis yang berbeda yang membentuk sudut 90 derajat.

Jika kita menginterpretasikan bahwa garis g adalah garis yang melalui O dan A, dan garis h adalah garis yang melalui O dan B, dan sudut AOB = 90 derajat, maka:

Kita bisa menggunakan vektor. Vektor OA = (xA, yA) dan vektor OB = (xB, yB).
Karena OA tegak lurus OB, hasil kali titik mereka adalah 0:
OA · OB = xA*xB + yA*yB = 0

Gradien garis g (m_g) = yA / xA
Gradien garis h (m_h) = yB / xB

Kita ingin membuktikan bahwa m_g * m_h = -1, yaitu (yA/xA) * (yB/xB) = -1.

Dari OA · OB = 0, kita punya yA*yB = -xA*xB.
Jika xA dan xB tidak nol, kita bisa membagi kedua sisi dengan xA*xB:
(yA*yB) / (xA*xB) = -1
(yA/xA) * (yB/xB) = -1
m_g * m_h = -1

Ini membuktikan bahwa hasil kali gradien garis g dan h adalah -1.