Keuntungan satu unit barang dari 500 barang pertama yang

505 barang

Pembahasan

Untuk memaksimumkan keuntungan, kita perlu menentukan jumlah barang yang diproduksi. Misalkan:
- n adalah jumlah barang yang diproduksi.
- Keuntungan per unit untuk 500 barang pertama adalah Rp50.000,00.
- Keuntungan per unit untuk barang ke-501 dan seterusnya berkurang Rp5.000,00 untuk setiap penambahan unit barang.

Fungsi keuntungan (K) dapat dinyatakan sebagai:
Jika n <= 500, K(n) = n * 50.000

Jika n > 500, jumlah barang di atas 500 adalah (n - 500).
Keuntungan per unit untuk barang ke-(500+x) adalah 50.000 - x * 5.000.

Total keuntungan untuk n > 500:
K(n) = (Keuntungan 500 barang pertama) + (Keuntungan barang ke-501 sampai ke-n)
K(n) = 500 * 50.000 + (n - 500) * [50.000 - ((n - 500) - 1) * 5.000]
Ini berdasarkan contoh yang diberikan, namun formulasi yang lebih umum adalah:
Misalkan x = n - 500 (jumlah barang di atas 500).
Keuntungan per unit untuk x barang tambahan = 50.000 - x * 5.000.
Total keuntungan untuk n > 500:
K(n) = 500 * 50.000 + x * (50.000 - x * 5.000)
K(n) = 25.000.000 + (n - 500) * (50.000 - (n - 500) * 5.000)

Mari kita gunakan notasi yang lebih sederhana dengan mengikuti pola contoh soal:
Misalkan jumlah barang yang diproduksi adalah 500 + x, di mana x adalah kelebihan dari 500.
Keuntungan = 500 * 50.000 + x * (50.000 - x * 5.000)
Keuntungan = 25.000.000 + 50.000x - 5.000x^2

Untuk mencari nilai maksimum, kita turunkan fungsi keuntungan terhadap x dan samakan dengan nol:
dK/dx = 50.000 - 10.000x
Atur turunan sama dengan nol:
50.000 - 10.000x = 0
10.000x = 50.000
x = 50.000 / 10.000
x = 5

Jadi, jumlah barang yang diproduksi untuk memaksimumkan keuntungan adalah 500 + x = 500 + 5 = 505 barang.

Untuk memastikan ini adalah maksimum, kita bisa cek turunan kedua:
d^2K/dx^2 = -10.000, yang negatif, menandakan titik maksimum.

Banyak barang yang diproduksi untuk memaksimumkan keuntungan adalah 505 unit.