Kode kupon hadiah untuk belanja pada suatu toko swalayan

41

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan permutasi, khususnya permutasi yang melibatkan angka berulang. Kita perlu menentukan urutan dari kode kupon 53283 jika semua kemungkinan kode kupon disusun dari yang terkecil hingga terbesar.

Kode kupon disusun dari angka 2, 3, 3, 5, 8. Total ada 5 angka dengan angka 3 muncul dua kali.

Jumlah total kemungkinan susunan kode kupon adalah permutasi dari 5 angka dengan angka 3 berulang 2 kali:
Total susunan = 5! / 2! = (5 * 4 * 3 * 2 * 1) / (2 * 1) = 120 / 2 = 60 kode kupon.

Sekarang kita akan mencari urutan kode 53283 dengan menghitung berapa banyak kode yang lebih kecil dari 53283.

Kode yang dimulai dengan angka lebih kecil dari 5 (yaitu 2 dan 3):
1.  Kode yang dimulai dengan 2:
    Angka yang tersisa adalah 3, 3, 5, 8. Jumlah susunannya adalah 4! / 2! = (4 * 3 * 2 * 1) / (2 * 1) = 24 / 2 = 12 kode.
2.  Kode yang dimulai dengan 3:
    Angka yang tersisa adalah 2, 3, 5, 8. Jumlah susunannya adalah 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 kode.

Kode yang dimulai dengan 5:
Sekarang kita lihat angka kedua. Kode yang kita cari adalah 53283.

    Kode yang dimulai dengan 52:
    Angka yang tersisa adalah 3, 3, 8. Jumlah susunannya adalah 3! / 2! = (3 * 2 * 1) / (2 * 1) = 6 / 2 = 3 kode.

    Kode yang dimulai dengan 53:
    Angka yang tersisa adalah 2, 3, 8. Kita mencari kode 53283.

        Kode yang dimulai dengan 532:
        Angka yang tersisa adalah 3, 8. Susunannya adalah 2! = 2 kode.
        Kode yang dimulai dengan 5323...
        Kode yang dimulai dengan 5328...
            Kode yang dimulai dengan 53283: Ini adalah kode yang kita cari.

Mari kita hitung jumlah kode yang lebih kecil dari 53283:
Jumlah kode yang dimulai dengan 2: 12
Jumlah kode yang dimulai dengan 3: 24
Jumlah kode yang dimulai dengan 52: 3

Jumlah kode yang dimulai dengan 53:
    Angka tersisa: 2, 3, 8.
    Kode yang dimulai dengan 532:
        Angka tersisa: 3, 8.
        Kode yang lebih kecil dari 532xx: hanya 53238 (1 kode).
    Kode yang dimulai dengan 533:
        Angka tersisa: 2, 8.
        Jumlah susunannya adalah 2! = 2 kode (53328, 53382).

Mari kita ulangi dengan lebih sistematis:

Angka: 2, 3, 3, 5, 8. Kode target: 53283.

1. Angka pertama lebih kecil dari 5:
   - Dimulai dengan 2: sisa (3,3,5,8). Permutasi = 4!/2! = 12.
   - Dimulai dengan 3: sisa (2,3,5,8). Permutasi = 4! = 24.
   Total = 12 + 24 = 36 kode.

2. Angka pertama adalah 5. Angka kedua lebih kecil dari 3:
   - Dimulai dengan 52: sisa (3,3,8). Permutasi = 3!/2! = 3.
   Total = 36 + 3 = 39 kode.

3. Angka pertama 5, angka kedua 3. Angka ketiga lebih kecil dari 2:
   - Dimulai dengan 531 (tidak ada angka 1)
   - Dimulai dengan 532: sisa (3,8). Permutasi = 2! = 2.
     - 53238
     - 53283 (ini kode target)
   Jadi, ada 1 kode yang lebih kecil dari 53283 pada kelompok 532xx, yaitu 53238.
   Total = 39 + 1 = 40 kode.

4. Angka pertama 5, angka kedua 3, angka ketiga 2. Angka keempat lebih kecil dari 8:
   - Dimulai dengan 5323: sisa (8). Permutasi = 1! = 1. (53238)
   - Dimulai dengan 5328: sisa (3). Permutasi = 1! = 1. (53283)
   
   Kita perlu menghitung jumlah kode yang dimulai dengan 532 dan angka keempatnya lebih kecil dari 8. Angka yang tersisa adalah 3 dan 8. Angka yang lebih kecil dari 8 adalah 3.
   - Dimulai dengan 5323: sisa (8). Hanya 1 kode: 53238.
   Total = 40 + 1 = 41 kode.

5. Angka pertama 5, angka kedua 3, angka ketiga 2, angka keempat 8. Angka kelima:
   - Dimulai dengan 53283: sisa (3). Hanya 1 kode: 53283.

Jadi, kode kupon 53283 berada pada urutan ke-(jumlah kode yang lebih kecil) + 1.
Total kode yang lebih kecil = 12 (mulai dengan 2) + 24 (mulai dengan 3) + 3 (mulai dengan 52) + 1 (mulai dengan 5323) = 40.

Urutan kode 53283 adalah 40 + 1 = 41.

Kesalahan dalam perhitungan sebelumnya, mari kita hitung ulang dengan cermat:
Angka yang tersedia: {2, 3, 3, 5, 8}
Kode target: 53283

1. Kode diawali dengan angka < 5:
   - Diawali 2: sisa {3, 3, 5, 8}. Permutasi = 4!/2! = 12.
   - Diawali 3: sisa {2, 3, 5, 8}. Permutasi = 4! = 24.
   Total = 12 + 24 = 36.

2. Kode diawali dengan 5:
   - Angka kedua < 3:
     - Diawali 52: sisa {3, 3, 8}. Permutasi = 3!/2! = 3.
     Total = 36 + 3 = 39.
   - Angka kedua = 3:
     - Angka ketiga < 2:
       - Diawali 531 (tidak ada 1)
       - Kode diawali 532: sisa {3, 8}. Permutasi = 2! = 2.
         - 53238
         - 53283 (target)
       Ada 1 kode yang lebih kecil dari 53283 pada kelompok 532xx, yaitu 53238.
       Total = 39 + 1 = 40.
     - Angka ketiga = 3:
       - Kode diawali 533: sisa {2, 8}. Permutasi = 2! = 2.
         - 53328
         - 53382
       Ini lebih besar dari 53283, jadi tidak dihitung.

Mari kita ulangi fokus pada pembentukan kode 53283:
Angka: {2, 3, 3, 5, 8}

1. Angka pertama < 5:
   - 2xxxx: sisa {3,3,5,8}. Permutasi = 4!/2! = 12.
   - 3xxxx: sisa {2,3,5,8}. Permutasi = 4! = 24.
   Total = 12 + 24 = 36.

2. Angka pertama = 5:
   - Angka kedua < 3:
     - 52xxx: sisa {3,3,8}. Permutasi = 3!/2! = 3.
     Total = 36 + 3 = 39.
   - Angka kedua = 3:
     - Angka ketiga < 2:
       - 531xx (tidak ada 1).
       - 532xx: sisa {3,8}. Permutasi = 2! = 2.
         - 53238
         - 53283 (target)
       Ada 1 kode yang lebih kecil dari 53283 di sini (yaitu 53238).
       Total = 39 + 1 = 40.
     - Angka ketiga = 3:
       - 533xx: sisa {2,8}. Permutasi = 2! = 2.
         - 53328
         - 53382
       Ini lebih besar dari target, abaikan.

   - Angka kedua = 5 (tidak ada 5 kedua)

   - Angka kedua = 8:
     - 58xxx: sisa {2,3,3}. Permutasi = 3!/2! = 3.
     Total = 39 + 3 = 42.
     (Ini menunjukkan ada kesalahan di atas, karena kode yang dimulai dengan 53 tidak boleh dilewati begitu saja.

Mari fokus pada pembentukan kode 53283 dari angka {2, 3, 3, 5, 8}:

1. Kode diawali angka < 5:
   - 2 _ _ _ _ : sisa {3,3,5,8}. Permutasi = 4!/2! = 12.
   - 3 _ _ _ _ : sisa {2,3,5,8}. Permutasi = 4! = 24.
   Jumlah = 12 + 24 = 36.

2. Kode diawali 5:
   - Angka kedua < 3:
     - 52 _ _ _ : sisa {3,3,8}. Permutasi = 3!/2! = 3.
     Jumlah = 36 + 3 = 39.
   - Angka kedua = 3:
     - Angka ketiga < 2:
       - 531 _ _ : tidak ada angka 1.
       - 532 _ _ : sisa {3,8}. Permutasi = 2! = 2.
         - 53238
         - 53283 (target)
       Jadi, ada 1 kode yang lebih kecil dari target pada kelompok 532xx, yaitu 53238.
       Jumlah = 39 + 1 = 40.
     - Angka ketiga = 3:
       - 533 _ _ : sisa {2,8}. Permutasi = 2! = 2.
         - 53328
         - 53382
       Kedua kode ini lebih besar dari target, jadi tidak dihitung.

   - Angka kedua = 8:
     - 58 _ _ _ : sisa {2,3,3}. Permutasi = 3!/2! = 3.
     Jumlah = 39 + 3 = 42.

Perhitungan di atas masih terasa membingungkan. Mari gunakan pendekatan yang lebih sederhana:

List semua kemungkinan urutan:
Angka: 2, 3, 3, 5, 8

Kode yang dimulai dengan 2: 4!/2! = 12 kode.
Kode yang dimulai dengan 3: 4! = 24 kode.

Sekarang kita fokus pada kode yang dimulai dengan 5.
Kita punya angka {2, 3, 3, 8} tersisa untuk mengisi 4 posisi setelah 5.

Urutan angka yang tersisa {2, 3, 3, 8} adalah:
2338, 2383, 2833,
3238, 3283, 3328, 3382, 3823, 3832,
8233, 8323, 8332.

Kode kupon yang dimulai dengan 53283:

Kita perlu menghitung berapa banyak kode yang lebih kecil dari 53283.

1. Kode yang dimulai dengan 2: 12 kode.
2. Kode yang dimulai dengan 3: 24 kode.

Jadi, 36 kode pertama dimulai dengan 2 atau 3.

Sekarang kode yang dimulai dengan 5:
Angka tersisa untuk posisi ke-2, ke-3, ke-4, ke-5 adalah {2, 3, 3, 8}.

Posisi ke-2:
- Jika angka kedua adalah 2: Kode 52xxx. Sisa {3, 3, 8}. Permutasi = 3!/2! = 3 kode (52338, 52383, 52833).
- Jika angka kedua adalah 3: Kode 53xxx. Sisa {2, 3, 8}.
  - Posisi ke-3:
    - Jika angka ketiga adalah 2: Kode 532xx. Sisa {3, 8}. Permutasi = 2! = 2 kode.
      - 53238
      - 53283 (kode target)
      Ada 1 kode yang lebih kecil dari target di sini (53238).
    - Jika angka ketiga adalah 3: Kode 533xx. Sisa {2, 8}. Permutasi = 2! = 2 kode.
      - 53328
      - 53382
      Kedua kode ini lebih besar dari target.
- Jika angka kedua adalah 8: Kode 58xxx. Sisa {2, 3, 3}. Permutasi = 3!/2! = 3 kode (58233, 58323, 58332).

Mari kita jumlahkan kode yang lebih kecil dari 53283:
1. Kode dimulai dengan 2: 12 kode.
2. Kode dimulai dengan 3: 24 kode.
3. Kode dimulai dengan 52: 3 kode.
4. Kode dimulai dengan 5323: 1 kode (53238).

Total kode yang lebih kecil = 12 + 24 + 3 + 1 = 40.

Kode kupon 53283 berada pada urutan ke-41.