Kolam renang berbentuk gabungan persegipanjang dan setengah

x = a/(4+pi)

Pembahasan

Keliling kolam renang = panjang sisi persegi panjang + 2 * panjang sisi miring + keliling setengah lingkaran = y + 2x + pi*(x/2) = a. Luas kolam renang = luas persegi panjang + luas setengah lingkaran = xy + 1/2 * pi * (x/2)^2. Untuk memaksimalkan luas, kita perlu mencari turunan pertama luas terhadap x dan menyamakannya dengan nol. Dari keliling, kita dapatkan y = a - 2x - pi*x/2. Substitusikan y ke dalam rumus luas: Luas = x(a - 2x - pi*x/2) + 1/8*pi*x^2 = ax - 2x^2 - pi*x^2/2 + pi*x^2/8 = ax - 2x^2 - 3*pi*x^2/8. Turunan pertama luas terhadap x: d(Luas)/dx = a - 4x - 3*pi*x/4. Samakan dengan nol: a - 4x - 3*pi*x/4 = 0 => a = x(4 + 3*pi/4) => x = a / (4 + 3*pi/4) = 4a / (16 + 3*pi). Terdapat kesalahan dalam pilihan jawaban, mari kita periksa kembali. Jika keliling kolam adalah y + 2x + pi(x) = a (menganggap diameter setengah lingkaran adalah x). Maka y = a - 2x - pi*x. Luas = xy + 1/2 * pi * (x/2)^2 = x(a-2x-pi*x) + pi*x^2/8 = ax - 2x^2 - pi*x^2 + pi*x^2/8 = ax - 2x^2 - 7*pi*x^2/8. d(Luas)/dx = a - 4x - 7*pi*x/4. Maka x = a / (4 + 7*pi/4) = 4a / (16 + 7*pi). Mari kita coba interpretasi lain: Keliling = 2y + 2x + pi(x) = a. Luas = xy + 1/2 * pi * (x/2)^2. Jika gambar menunjukkan lebar y, dan panjang x untuk persegi panjang, serta setengah lingkaran di salah satu sisi panjang x. Maka keliling = x + 2y + x + pi(x/2) = 2x + 2y + pi*x/2 = a. y = (a - 2x - pi*x/2)/2. Luas = xy + 1/2 * pi * (x/2)^2 = x(a - 2x - pi*x/2)/2 + pi*x^2/8 = ax/2 - x^2 - pi*x^2/4 + pi*x^2/8 = ax/2 - x^2 - pi*x^2/8. d(Luas)/dx = a/2 - 2x - pi*x/4. Samakan dengan nol: a/2 = x(2 + pi/4) => x = (a/2) / (2 + pi/4) = a / (4 + pi/2) = 2a / (8 + pi). Terdapat kesalahan dalam interpretasi atau pilihan jawaban. Mari kita asumsikan gambar menunjukkan panjang sisi persegi panjang adalah y, dan lebar adalah x. Setengah lingkaran menempel pada sisi y. Keliling = 2x + y + y + pi(x/2) = 2x + 2y + pi*x/2 = a. Luas = xy + 1/2 * pi * (x/2)^2 = xy + pi*x^2/8. Dari keliling, 2y = a - 2x - pi*x/2 => y = a/2 - x - pi*x/4. Luas = x(a/2 - x - pi*x/4) + pi*x^2/8 = ax/2 - x^2 - pi*x^2/4 + pi*x^2/8 = ax/2 - x^2 - pi*x^2/8. d(Luas)/dx = a/2 - 2x - pi*x/4. Samakan dengan nol: a/2 = x(2 + pi/4) => x = (a/2) / (2 + pi/4) = a / (4 + pi/2) = 2a / (8 + pi). Jika gambar menunjukkan lebar kolam adalah x, dan panjang sisi yang menempel setengah lingkaran adalah y. Keliling = 2x + y + pi(y/2) = a. Luas = xy + 1/2 * pi * (y/2)^2. Dari keliling, x = (a - y - pi*y/2) / 2. Luas = y(a - y - pi*y/2)/2 + pi*y^2/8 = ay/2 - y^2/2 - pi*y^2/4 + pi*y^2/8 = ay/2 - y^2/2 - pi*y^2/8. d(Luas)/dy = a/2 - y - pi*y/4. Samakan dengan nol: a/2 = y(1 + pi/4) => y = (a/2) / (1 + pi/4) = a / (2 + pi/2) = 2a / (4 + pi). Dari soal tertulis "x/2 y x x/2 y", ini menunjukkan bahwa panjang persegi panjang adalah x, dan lebarnya adalah y. Setengah lingkaran menempel pada salah satu sisi y. Keliling = x + y + x + pi(y/2) = 2x + y + pi*y/2 = a. Luas = xy + 1/2 * pi * (y/2)^2 = xy + pi*y^2/8. Dari keliling, x = (a - y - pi*y/2) / 2. Substitusikan x ke luas: Luas = y(a - y - pi*y/2)/2 + pi*y^2/8 = ay/2 - y^2/2 - pi*y^2/4 + pi*y^2/8 = ay/2 - y^2/2 - pi*y^2/8. d(Luas)/dy = a/2 - y - pi*y/4. Samakan dengan nol: a/2 = y(1 + pi/4) => y = (a/2) / (1 + pi/4) = a / (2 + pi/2) = 2a / (4 + pi). Jadi y = 2a / (4 + pi). Mari kita gunakan pilihan jawaban untuk mencari x. Jika x = a/(4+2pi), maka keliling = 2a/(4+2pi) + y + pi*y/2 = a. Jika x = 2a/(4+pi), keliling = 2(2a/(4+pi)) + y + pi*y/2 = a. Asumsikan x adalah lebar dan y adalah panjang. Keliling = x + y + x + pi(x/2) = 2x + y + pi*x/2 = a. Luas = xy + 1/2*pi*(x/2)^2 = xy + pi*x^2/8. y = a - 2x - pi*x/2. Luas = x(a - 2x - pi*x/2) + pi*x^2/8 = ax - 2x^2 - pi*x^2/2 + pi*x^2/8 = ax - 2x^2 - 3*pi*x^2/8. d(Luas)/dx = a - 4x - 3*pi*x/4. Samakan dengan nol: a = x(4 + 3*pi/4) => x = a / (4 + 3*pi/4) = 4a / (16 + 3*pi). Perhatikan kembali gambar dan soal. Jika x adalah lebar dan y adalah panjang. Keliling = 2x + y + pi(x/2) = a. Luas = xy + 1/2 pi (x/2)^2 = xy + pi x^2 / 8. Dari keliling y = a - 2x - pi x / 2. Substitusi ke luas: Luas = x(a - 2x - pi x / 2) + pi x^2 / 8 = ax - 2x^2 - pi x^2 / 2 + pi x^2 / 8 = ax - 2x^2 - 3 pi x^2 / 8. Turunan terhadap x: d(Luas)/dx = a - 4x - 6 pi x / 8 = a - 4x - 3 pi x / 4. Agar maksimum, d(Luas)/dx = 0. a - 4x - 3 pi x / 4 = 0 => a = x(4 + 3 pi / 4) => x = a / (4 + 3 pi / 4) = 4a / (16 + 3 pi). Kembali ke soal: keliling kolam renang sama dengan a satuan panjang. agar luas kolam renang maksimum, maka x = ... satuan panjang. Jika gambar menunjukkan lebar x, dan panjang y, dengan setengah lingkaran pada salah satu sisi y. Keliling = 2x + y + pi*y/2 = a. Luas = xy + 1/2 pi (y/2)^2 = xy + pi y^2 / 8. Dari keliling x = (a - y - pi y / 2) / 2. Substitusi ke luas: Luas = y * (a - y - pi y / 2) / 2 + pi y^2 / 8 = ay/2 - y^2/2 - pi y^2 / 4 + pi y^2 / 8 = ay/2 - y^2/2 - pi y^2 / 8. Turunan terhadap y: d(Luas)/dy = a/2 - y - 2 pi y / 8 = a/2 - y - pi y / 4. Agar maksimum, d(Luas)/dy = 0. a/2 = y(1 + pi/4) => y = (a/2) / (1 + pi/4) = a / (2 + pi/2) = 2a / (4 + pi). Perhatikan kembali gambar: "y x x/2 y". Ini mengindikasikan panjang sisi persegi panjang adalah x, dan lebar sisi yang tegak lurus dengan setengah lingkaran adalah y. Setengah lingkaran memiliki diameter y. Keliling = x + y + x + pi*(y/2) = 2x + y + pi*y/2 = a. Luas = xy + 1/2*pi*(y/2)^2 = xy + pi*y^2/8. Dari keliling, 2x = a - y - pi*y/2 => x = (a - y - pi*y/2)/2. Substitusikan x ke luas: Luas = y * (a - y - pi*y/2)/2 + pi*y^2/8 = ay/2 - y^2/2 - pi*y^2/4 + pi*y^2/8 = ay/2 - y^2/2 - pi*y^2/8. Turunan terhadap y: d(Luas)/dy = a/2 - y - pi*y/4. Agar maksimum, a/2 = y(1 + pi/4) => y = (a/2) / (1 + pi/4) = a/(2+pi/2) = 2a/(4+pi). Soal menanyakan nilai x. Kita perlu mencari x dalam bentuk a. x = (a - y - pi*y/2)/2 = (a - 2a/(4+pi) - pi/2 * 2a/(4+pi))/2 = (a - 2a/(4+pi) - pi*a/(4+pi))/2 = (a(1 - 2/(4+pi) - pi/(4+pi)))/2 = (a((4+pi - 2 - pi)/(4+pi)))/2 = (a(2/(4+pi)))/2 = a/(4+pi). Jadi, x = a/(4+pi).