Nyatakan limit berikut sebagai suatu integral tentulimit n

Integral tentu dari limit tersebut adalah \(\int_{1}^{3} x^2 dx\).

Pembahasan

Untuk menyatakan limit $\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \left(1 + \frac{2i}{n}\right)^2 \frac{2}{n}$ sebagai suatu integral tentu, kita perlu mengidentifikasi bentuk umum dari jumlah Riemann: $\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x$.
Dalam limit yang diberikan:
$\\Delta x = \frac{2}{n}$
Bentuk dari argumen fungsi adalah $1 + \frac{2i}{n}$. Ini dapat diinterpretasikan sebagai $a + i \frac{b-a}{n}$ atau $a + \frac{b-a}{n}i$.
Jika kita menganggap intervalnya adalah [a, b], maka $\\Delta x = \frac{b-a}{n}$.
Dalam kasus ini, $\\Delta x = \frac{2}{n}$. Ini menunjukkan bahwa panjang interval adalah 2.
Mari kita perhatikan bagian $f(x_i^*)$: $\left(1 + \frac{2i}{n}\right)^2$.
Kita dapat menulis $\frac{2i}{n}$ sebagai $0 + \frac{2i}{n}$. Ini cocok dengan bentuk $a + \frac{b-a}{n}i$ jika kita memilih $a=0$ dan $b-a=2$, yang berarti $b=2$. Jadi, intervalnya adalah [0, 2].
Jika intervalnya [0, 2], maka $\\Delta x = \frac{2-0}{n} = \frac{2}{n}$, yang sesuai dengan $\\Delta x$ yang diberikan.
Sekarang kita perlu mengekspresikan $1 + \frac{2i}{n}$ dalam bentuk $f(x_i^*)$ dengan $x_i^* = a + i \frac{b-a}{n}$.
Dengan $a=0$ dan $b=2$, maka $x_i^* = 0 + i \frac{2-0}{n} = \frac{2i}{n}$.
Namun, ekspresi kita adalah $1 + \frac{2i}{n}$. Ini tidak cocok langsung dengan $f(x_i^*)$ jika $x_i^* = \frac{2i}{n}$.

Mari kita coba pendekatan lain. Kita bisa menuliskan $\frac{2i}{n}$ sebagai $2 \cdot \frac{i}{n}$.
Jika intervalnya adalah [0, 1], maka $\\Delta x = \frac{1-0}{n} = \frac{1}{n}$, dan $x_i^* = \frac{i}{n}$. Maka fungsi $f(x) = (1+2x)^2$. Dalam hal ini, $\\Delta x$ seharusnya $\frac{1}{n}$, tetapi kita memiliki $\frac{2}{n}$.

Jika kita melihat $\frac{2i}{n}$ sebagai bagian dari $x_i^*$, dan $\Delta x = \frac{2}{n}$.
Misalkan intervalnya adalah $[a, b]$ sehingga $\\Delta x = \frac{b-a}{n} = \frac{2}{n}$, yang berarti $b-a = 2$.
Dan $x_i^* = a + i \frac{b-a}{n} = a + i \frac{2}{n}$.
Kita memiliki ekspresi $1 + \frac{2i}{n}$.
Jika kita set $a=1$, maka $b = a+2 = 1+2 = 3$. Intervalnya adalah [1, 3].
Dalam hal ini, $x_i^* = 1 + i \frac{2}{n}$.
Maka, fungsi yang kita integralkan adalah $f(x) = x^2$.
Jadi, $\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \left(1 + \frac{2i}{n}\right)^2 \frac{2}{n} = \int_{1}^{3} x^2 dx$.