Kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk 6 cm. Nilai tangen

√5

Pembahasan

Untuk mencari nilai tangen sudut antara bidang BDG dan bidang ABCD pada kubus dengan panjang rusuk 6 cm, kita perlu mengidentifikasi sudut tersebut terlebih dahulu. Sudut yang dimaksud adalah sudut antara garis G ke titik potong diagonal alas (misalnya O) dan garis diagonal alas itu sendiri (misalnya BD). Misalkan O adalah titik potong diagonal AC dan BD. Maka, TO adalah tinggi limas T.ABCD. Dalam kasus ini, bidang BDG, kita bisa mengambil garis GD dan BD sebagai referensi. Sudut yang dicari adalah sudut antara garis GD dan garis BD. Namun, lebih tepatnya adalah sudut antara bidang BDG dan bidang alas ABCD. Kita bisa menggunakan perbandingan antara tinggi kubus (misalnya CG) dan setengah diagonal alas (misalnya BO) atau DO. Misalkan panjang rusuk adalah 'a'. Maka, panjang diagonal alas BD = a√2. Setengah diagonal alas BO = DO = (a√2)/2. Tinggi kubus CG = a. Dalam segitiga siku-siku BGD, BG = a√2, BD = a√2, GD = a√3. Perlu diperhatikan bahwa bidang BDG tidak tegak lurus dengan bidang ABCD. Mari kita cari sudut antara bidang BDG dan bidang ABCD. Ambil titik G, dan proyeksikan ke bidang ABCD. Proyeksi G ke bidang ABCD adalah titik C. Maka, kita perlu mencari sudut antara garis GD dan garis BD. Namun, ini adalah sudut pada segitiga BGD, bukan sudut antara bidang. Sudut antara dua bidang adalah sudut antara garis normal kedua bidang tersebut, atau sudut antara dua garis yang tegak lurus pada garis potong kedua bidang. Garis potong antara bidang BDG dan bidang ABCD adalah garis BD. Kita perlu mencari garis pada bidang BDG yang tegak lurus BD, dan garis pada bidang ABCD yang tegak lurus BD. Pada bidang ABCD, garis AC tegak lurus BD. Pada bidang BDG, kita perlu mencari garis yang tegak lurus BD. Misalkan M adalah titik tengah BD. Maka GM tegak lurus BD. Segitiga GMD siku-siku di M. DM = a√2 / 2. GM^2 = GD^2 - DM^2 = (a√3)^2 - (a√2 / 2)^2 = 3a^2 - (2a^2 / 4) = 3a^2 - a^2/2 = 5a^2/2. GM = a√(5/2). Segitiga GMD memiliki sudut GDM yang merupakan sudut antara bidang BDG dan bidang ABCD. Tan(GDM) = GM / DM = (a√(5/2)) / (a√2 / 2) = √(5/2) / (√2 / 2) = √(5/2) * (2/√2) = √5 * √2 / √2 = √5. Dengan panjang rusuk 6 cm, a = 6. Maka tan sudut = √5.