Kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk 8 cm. Titik M

$4 sqrt{2}$ cm

Pembahasan

Untuk menentukan jarak titik M ke diagonal AG pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm dan M sebagai titik tengah EH, kita dapat menggunakan konsep vektor atau teorema Pythagoras. Misalkan kita letakkan titik A pada koordinat (0,0,0). Maka koordinat titik H adalah (8,0,0), E adalah (0,8,0), dan G adalah (8,8,0). Karena M adalah titik tengah EH, maka koordinat M adalah $(\frac{0+8}{2}, \frac{8+0}{2}, \frac{0+0}{2}) = (4,4,0)$. Diagonal AG dapat direpresentasikan oleh vektor AG = G - A = (8,8,0) - (0,0,0) = (8,8,0). Vektor AM = M - A = (4,4,0) - (0,0,0) = (4,4,0). Jarak titik M ke diagonal AG adalah panjang proyeksi vektor AM pada vektor AG dikurangi panjang vektor AM, atau dapat dihitung dengan rumus jarak titik ke garis dalam ruang. Cara lain adalah dengan mencari vektor proyeksi AM pada AG, lalu mencari panjang vektor tegak lurusnya. Vektor proyeksi AM pada AG adalah $AM_{AG} = \frac{AM \cdot AG}{|AG|^2} AG$. $AM \cdot AG = (4 \times 8) + (4 \times 8) + (0 \times 0) = 32 + 32 = 64$. $|AG|^2 = 8^2 + 8^2 + 0^2 = 64 + 64 = 128$. Jadi, $AM_{AG} = \frac{64}{128} AG = \frac{1}{2} AG$. Vektor yang tegak lurus AG dari M adalah $AM_{tegak} = AM - AM_{AG} = (4,4,0) - \frac{1}{2}(8,8,0) = (4,4,0) - (4,4,0) = (0,0,0)$. Ini berarti M terletak pada diagonal AG, yang tidak benar. Mari kita gunakan cara lain. Jarak titik M ke garis AG. Misalkan titik M berada di tengah EH. Koordinat A=(0,0,0), G=(8,8,0). H=(8,0,0), E=(0,8,0). M = (4,4,0). Vektor AG = (8,8,0). Vektor AM = (4,4,0). Jarak M ke AG = |AM x AG| / |AG|. AM x AG = (4*0 - 0*8, 0*8 - 4*0, 4*8 - 4*8) = (0,0,0). Ini masih salah. Mari kita asumsikan M terletak pada bidang EFGH. Titik A=(0,0,0), G=(8,8,8). H=(8,0,8), E=(0,8,8). M titik tengah EH = (4,8,8). Vektor AG = (8,8,8). Vektor AM = (4,8,8). $|AG| = 
sqrt{8^2+8^2+8^2} = 
sqrt{192} = 8
sqrt{3}$. Jarak M ke AG adalah $|AM 	imes AG| / |AG|$. AM x AG = (8*8 - 8*8, 8*8 - 4*8, 4*8 - 8*8) = (0, 64-32, 32-64) = (0, 32, -32). $|AM 	imes AG| = 
sqrt{0^2 + 32^2 + (-32)^2} = 
sqrt{1024 + 1024} = 
sqrt{2048} = 32
sqrt{2}$. Jarak = $\frac{32
sqrt{2}}{8
sqrt{3}} = \frac{4
sqrt{2}}{
sqrt{3}} = \frac{4
sqrt{6}}{3}$. Jika M adalah titik tengah EH, dan kubus ABCD.EFGH, maka A=(0,0,0), B=(8,0,0), C=(8,8,0), D=(0,8,0), E=(0,0,8), F=(8,0,8), G=(8,8,8), H=(0,8,8). M adalah titik tengah EH, jadi M = $(\frac{0+0}{2}, \frac{0+8}{2}, \frac{8+8}{2}) = (0,4,8)$. Vektor AG = (8,8,8). Vektor AM = (0,4,8). $|AG| = 
sqrt{8^2+8^2+8^2} = 8
sqrt{3}$. $|AM| = 
sqrt{0^2+4^2+8^2} = 
sqrt{16+64} = 
sqrt{80} = 4
sqrt{5}$. Jarak M ke AG adalah $|AM 	imes AG| / |AG|$. AM x AG = (4*8 - 8*8, 8*8 - 0*8, 0*8 - 4*8) = (32-64, 64-0, 0-32) = (-32, 64, -32). $|AM 	imes AG| = 
sqrt{(-32)^2 + 64^2 + (-32)^2} = 
sqrt{1024 + 4096 + 1024} = 
sqrt{6144} = 32
sqrt{6}$. Jarak = $\frac{32
sqrt{6}}{8
sqrt{3}} = 4
sqrt{2}$. Jarak titik M ke diagonal AG adalah $4
sqrt{2}$ cm.