Kubus ABCD.EFGH panjang sisinya 1 dm. Titik P dan BC dengan

Perlu klarifikasi soal (unit dan nilai t). Jawaban bergantung pada t: 1 / (2 * sqrt(t^2 - 2t + 2)) dm^2.

Pembahasan

Misalkan panjang sisi kubus adalah s = 1 dm.
Titik P pada BC sehingga |PC| = t dm. Maka |BP| = s - t = 1 - t dm.

Kita perlu mencari luas segitiga AQR. Untuk melakukan ini, kita perlu menentukan koordinat titik A, Q, dan R.

Anggap A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=(1,1,0), D=(0,1,0), E=(0,0,1), F=(1,0,1), G=(1,1,1), H=(0,1,1).

Karena P pada BC dan |PC| = t, maka P = B + (C-B) * t/s = (1,0,0) + ((1,1,0)-(1,0,0)) * t/1 = (1,0,0) + (0,t,0) = (1,t,0).


Karena Q adalah proyeksi A pada DP, maka Q terletak pada garis DP dan vektor AQ tegak lurus dengan vektor DP.

Vektor DP = P - D = (1,t,0) - (0,1,0) = (1, t-1, 0).

Vektor A = (0,0,0), jadi vektor AP = P - A = (1,t,0).

Untuk mencari proyeksi A pada DP, kita gunakan rumus proyeksi vektor.
Namun, Q adalah proyeksi A pada DP. Ini berarti Q adalah titik pada garis DP sedemikian rupa sehingga AQ tegak lurus DP.

Kita bisa parametrisasikan garis DP sebagai D + k*DP = (0,1,0) + k(1, t-1, 0) = (k, 1+k(t-1), 0).

Vektor AQ = Q - A = (k, 1+k(t-1), 0).

Karena AQ tegak lurus DP, maka perkalian dot AQ.DP = 0.
(k, 1+k(t-1), 0) . (1, t-1, 0) = 0
k*1 + (1+k(t-1))*(t-1) = 0
k + (t-1) + k(t-1)^2 = 0
k(1 + (t-1)^2) = -(t-1)
k = -(t-1) / (1 + (t-1)^2) = (1-t) / (1 + (t-1)^2).

Jadi, Q = (k, 1+k(t-1), 0).
Q = ((1-t)/(1+(t-1)^2), 1 + ((1-t)/(1+(t-1)^2))*(t-1), 0)
Q = ((1-t)/(1+(t-1)^2), 1 - (t-1)^2/(1+(t-1)^2), 0)
Q = ((1-t)/(1+(t-1)^2), (1 + (t-1)^2 - (t-1)^2)/(1+(t-1)^2), 0)
Q = ((1-t)/(1+(t-1)^2), 1/(1+(t-1)^2), 0).

Sekarang, R adalah proyeksi Q pada bidang EFGH. Bidang EFGH adalah bidang z=1. Namun, dari koordinat titik A, B, C, D, E, F, G, H yang saya definisikan, bidang EFGH adalah bidang z=1.
Jika A=(0,0,0) maka E=(0,0,1), F=(1,0,1), G=(1,1,1), H=(0,1,1).

Jika kita menggunakan sistem koordinat di mana ABCD adalah alas bawah dan EFGH adalah alas atas, maka.
A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=(1,1,0), D=(0,1,0).
E=(0,0,1), F=(1,0,1), G=(1,1,1), H=(0,1,1).

Dengan P pada BC, |PC|=t, maka P = (1, t, 0).

DP = P - D = (1,t,0) - (0,1,0) = (1, t-1, 0).

Proyeksi A pada DP: Q adalah titik pada garis DP sehingga AQ tegak lurus DP.
Parameterisasi garis DP: D + k*DP = (0,1,0) + k(1, t-1, 0) = (k, 1+k(t-1), 0).
Vektor AQ = (k, 1+k(t-1), 0).
AQ . DP = k + (1+k(t-1))(t-1) = k + (t-1) + k(t-1)^2 = 0
k(1+(t-1)^2) = -(t-1)
k = (1-t)/(1+(t-1)^2).
Q = ( (1-t)/(1+(t-1)^2), 1 + (1-t)/(1+(t-1)^2)*(t-1), 0 )
Q = ( (1-t)/(1+(t-1)^2), (1+(t-1)^2 - (t-1)^2)/(1+(t-1)^2), 0 )
Q = ( (1-t)/(1+(t-1)^2), 1/(1+(t-1)^2), 0 ).

R adalah proyeksi Q pada bidang EFGH. Bidang EFGH adalah bidang z=1.
Karena Q berada pada bidang z=0, maka proyeksi Q pada bidang z=1 adalah titik dengan koordinat z=1.
Ini berarti ada kesalahan dalam pemahaman soal atau definisi proyeksi.

Mari kita asumsikan bidang EFGH adalah bidang yang sejajar dengan ABCD pada ketinggian 1 dm.
Jika A=(0,0,0), maka bidang EFGH memiliki persamaan z=1.
Q = ( (1-t)/(1+(t-1)^2), 1/(1+(t-1)^2), 0 ).
Proyeksi Q pada bidang z=1 adalah R = ( (1-t)/(1+(t-1)^2), 1/(1+(t-1)^2), 1 ).

Kita perlu luas segitiga AQR.
A = (0,0,0)
Q = ( qx, qy, 0 ) = ( (1-t)/(1+(t-1)^2), 1/(1+(t-1)^2), 0 )
R = ( rx, ry, rz ) = ( (1-t)/(1+(t-1)^2), 1/(1+(t-1)^2), 1 )

Vektor AQ = Q - A = Q = ( qx, qy, 0 ).
Vektor AR = R - A = R = ( rx, ry, rz ).

Luas segitiga AQR = 1/2 * |AQ x AR|.

AQ x AR = det([[i, j, k], [qx, qy, 0], [rx, ry, rz]])
= i(qy*rz - 0*ry) - j(qx*rz - 0*rx) + k(qx*ry - qy*rx)
= i(qy*rz) - j(qx*rz) + k(qx*ry - qy*rx)

Karena qx = rx dan qy = ry, maka:
AQ x AR = i(qy*1) - j(qx*1) + k(qx*qy - qy*qx)
= i(qy) - j(qx) + k(0)
= (qy, -qx, 0).

|AQ x AR| = sqrt(qy^2 + (-qx)^2 + 0^2) = sqrt(qy^2 + qx^2).

qy = 1/(1+(t-1)^2)
qx = (1-t)/(1+(t-1)^2)

qy^2 + qx^2 = [1/(1+(t-1)^2)]^2 + [(1-t)/(1+(t-1)^2)]^2
= [1 + (1-t)^2] / [1+(t-1)^2]^2
= [1 + 1 - 2t + t^2] / [1 + t^2 - 2t + 1]^2
= [2 - 2t + t^2] / [t^2 - 2t + 2]^2.

Luas = 1/2 * sqrt([2 - 2t + t^2] / [t^2 - 2t + 2]^2)
Luas = 1/2 * sqrt(t^2 - 2t + 2) / (t^2 - 2t + 2)
Luas = 1 / (2 * sqrt(t^2 - 2t + 2)).

Ada kesalahan dalam soal atau interpretasi. Unit 'dm^3' untuk luas tidak masuk akal. Seharusnya 'dm^2'.

Mari kita coba pendekatan lain dengan visualisasi geometri.

Panjang sisi kubus = 1 dm.
Misalkan D sebagai pusat koordinat (0,0,0). Maka:
D=(0,0,0), A=(0,1,0), B=(1,1,0), C=(1,0,0).

P pada BC, |PC|=t. Maka P = C + (B-C) * t/1 = (1,0,0) + ((1,1,0)-(1,0,0))*t = (1,0,0) + (0,t,0) = (1,t,0).

DP = P - D = (1,t,0).

Q adalah proyeksi A pada DP. Vektor DP = (1,t,0).
Vektor DA = (0,1,0).

Proyeksi vektor DA pada DP adalah ((DA . DP) / |DP|^2) * DP.
DA . DP = (0,1,0) . (1,t,0) = 0*1 + 1*t + 0*0 = t.
|DP|^2 = 1^2 + t^2 + 0^2 = 1+t^2.

Proyeksi = (t / (1+t^2)) * (1,t,0) = ( t/(1+t^2), t^2/(1+t^2), 0 ).
Ini adalah vektor DQ. Jadi, Q = ( t/(1+t^2), t^2/(1+t^2), 0 ).

R adalah proyeksi Q pada bidang EFGH. Jika ABCD adalah alas bawah, maka EFGH adalah alas atas.
Kita perlu mendefinisikan bidang EFGH. Jika A=(0,1,0), maka E=(0,1,1).
Bidang EFGH sejajar dengan ABCD, dan berjarak 1 dm.

Jika D=(0,0,0), A=(0,1,0), maka bidang ABCD adalah y=0.
Ini tidak konsisten dengan kubus. 

Mari gunakan definisi standar:
A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=(1,1,0), D=(0,1,0)
E=(0,0,1), F=(1,0,1), G=(1,1,1), H=(0,1,1)

P pada BC, |PC|=t. Vektor BC = C-B = (0,1,0). P = B + t/1 * BC = (1,0,0) + t(0,1,0) = (1,t,0).

DP = P - D = (1,t,0) - (0,1,0) = (1, t-1, 0).

Q adalah proyeksi A pada DP. Vektor DP = (1, t-1, 0). Vektor DA = A-D = (0,0,0)-(0,1,0) = (0,-1,0).
Ini juga tidak benar. Q adalah proyeksi A ke garis DP.

Persamaan garis DP: D + k*DP = (0,1,0) + k(1, t-1, 0) = (k, 1+k(t-1), 0).
Vektor AQ = Q - A = (k, 1+k(t-1), 0) - (0,0,0) = (k, 1+k(t-1), 0).
AQ tegak lurus DP:
AQ . DP = k*1 + (1+k(t-1))*(t-1) = 0
k + (t-1) + k(t-1)^2 = 0
k(1+(t-1)^2) = -(t-1)
k = (1-t)/(1+(t-1)^2).

Q = ( (1-t)/(1+(t-1)^2), 1 + (1-t)/(1+(t-1)^2)*(t-1), 0 )
Q = ( (1-t)/(1+(t-1)^2), (1+(t-1)^2 - (t-1)^2)/(1+(t-1)^2), 0 )
Q = ( (1-t)/(1+(t-1)^2), 1/(1+(t-1)^2), 0 ).

R adalah proyeksi Q pada bidang EFGH. Bidang EFGH adalah bidang z=1.
Proyeksi Q pada bidang z=1 adalah R = ( (1-t)/(1+(t-1)^2), 1/(1+(t-1)^2), 1 ).

Luas segitiga AQR. A=(0,0,0).
AQ = Q = ( (1-t)/(1+(t-1)^2), 1/(1+(t-1)^2), 0 ).
AR = R = ( (1-t)/(1+(t-1)^2), 1/(1+(t-1)^2), 1 ).

Luas = 1/2 * |AQ x AR|.
AQ x AR = det([[i, j, k], [qx, qy, 0], [rx, ry, rz]])
= i(qy*rz) - j(qx*rz) + k(qx*ry - qy*rx).
qx = rx = (1-t)/(1+(t-1)^2)
qy = ry = 1/(1+(t-1)^2)
rz = 1.

AQ x AR = i(qy) - j(qx) + k(0) = (qy, -qx, 0).
|AQ x AR| = sqrt(qy^2 + qx^2).
qy^2 + qx^2 = (1/(1+(t-1)^2))^2 + ((1-t)/(1+(t-1)^2))^2
= (1 + (1-t)^2) / (1+(t-1)^2)^2.

Luas = 1/2 * sqrt(1 + (1-t)^2) / (1+(t-1)^2).
1+(t-1)^2 = 1 + t^2 - 2t + 1 = t^2 - 2t + 2.
1+(1-t)^2 = 1 + 1 - 2t + t^2 = t^2 - 2t + 2.

Luas = 1/2 * sqrt(t^2 - 2t + 2) / (t^2 - 2t + 2)
Luas = 1 / (2 * sqrt(t^2 - 2t + 2)).

Ini masih bergantung pada t. Kemungkinan ada cara menyederhanakan atau interpretasi lain.

Mari kita periksa soalnya lagi. Luas segitiga AQR adalah ... dm^3. Ini jelas salah penulisan unit.

Jika P adalah titik tengah BC, maka t = 1/2.
Luas = 1 / (2 * sqrt((1/2)^2 - 2(1/2) + 2))
= 1 / (2 * sqrt(1/4 - 1 + 2))
= 1 / (2 * sqrt(5/4))
= 1 / (2 * sqrt(5)/2)
= 1 / sqrt(5) = sqrt(5)/5.

Jika t=0, P=C. DP = (1, -1, 0). Q = (1/2, 1/2, 0). R = (1/2, 1/2, 1). A=(0,0,0).
Luas = 1/2 * |AQ x AR|.
AQ = (1/2, 1/2, 0).
AR = (1/2, 1/2, 1).
AQ x AR = det([[i,j,k],[1/2,1/2,0],[1/2,1/2,1]]) = i(1/2) - j(1/2) + k(0) = (1/2, -1/2, 0).
|AQ x AR| = sqrt((1/2)^2 + (-1/2)^2) = sqrt(1/4 + 1/4) = sqrt(1/2) = 1/sqrt(2).
Luas = 1/2 * (1/sqrt(2)) = 1/(2*sqrt(2)) = sqrt(2)/4.

Jika t=1, P=B. DP = (1, 0, 0). Q = (0, 1, 0) (proyeksi A=(0,0,0) pada garis yang melalui D=(0,1,0) dan B=(1,1,0) adalah D itu sendiri, jadi Q=D). R = (0,1,1). A=(0,0,0).
AQ = (0,1,0). AR = (0,1,1).
AQ x AR = det([[i,j,k],[0,1,0],[0,1,1]]) = i(1) - j(0) + k(0) = (1,0,0).
|AQ x AR| = 1.
Luas = 1/2 * 1 = 1/2.

Ada kemungkinan soal ini mengacu pada luas proyeksi, atau ada sifat khusus.

Perhatikan vektor DP = (1, t-1, 0). A=(0,0,0). Garis DP melalui D=(0,1,0).
Proyeksi A pada garis DP. Vektor arah garis adalah DP = (1, t-1, 0).
Misalkan titik pada garis adalah Q = D + k*DP = (0,1,0) + k(1, t-1, 0) = (k, 1+k(t-1), 0).
Vektor AQ = (k, 1+k(t-1), 0).
AQ harus tegak lurus DP.
AQ.DP = k + (1+k(t-1))(t-1) = 0.
k + (t-1) + k(t-1)^2 = 0.
k(1+(t-1)^2) = -(t-1).
k = (1-t)/(1+(t-1)^2).

Q = ( (1-t)/(1+(t-1)^2), 1 + (1-t)(t-1)/(1+(t-1)^2), 0 ) = ( (1-t)/(1+(t-1)^2), 1/(1+(t-1)^2), 0 ).

R adalah proyeksi Q pada bidang EFGH. Bidang EFGH sejajar dengan ABCD.
Kita perlu orientasi kubus yang benar.
ABCD alas bawah, EFGH alas atas.
A=(0,0,0), D=(0,1,0). Bidang ABCD adalah z=0.
E=(0,0,1), H=(0,1,1). Bidang EFGH adalah z=1.

Dengan orientasi ini:
P pada BC. B=(1,0,0), C=(1,1,0). |PC|=t. P = C + (B-C)*t/1 = (1,1,0) + (0,-1,0)*t = (1, 1-t, 0).

DP = P - D = (1, 1-t, 0) - (0,0,0) = (1, 1-t, 0).

Q adalah proyeksi A=(0,0,0) pada DP.
Misalkan Q = k*DP = (k, k(1-t), 0).
Vektor AQ = Q = (k, k(1-t), 0).
AQ tegak lurus DP.
AQ.DP = k*1 + k(1-t)*(1-t) = 0.
k + k(1-t)^2 = 0.
k(1 + (1-t)^2) = 0.
Karena 1+(1-t)^2 > 0, maka k=0. Ini berarti Q=A=(0,0,0).
Ini tidak mungkin jika P bukan di D.

Mari kita gunakan definisi proyeksi ortogonal.
Q adalah proyeksi titik A ke garis DP. Q = A + proj_{DP}(P-A).

Kembali ke A=(0,0,0), D=(0,1,0), P=(1,t,0).
DP = P-D = (1,t-1,0).
Vektor AP = P-A = (1,t,0).

Q = A + proj_{DP}(AP)
Q = (0,0,0) + ((AP.DP) / |DP|^2) * DP
AP.DP = (1,t,0).(1,t-1,0) = 1 + t(t-1) = 1 + t^2 - t.
|DP|^2 = 1^2 + (t-1)^2 = 1 + t^2 - 2t + 1 = t^2 - 2t + 2.

Q = ((t^2 - t + 1) / (t^2 - 2t + 2)) * (1, t-1, 0).
Q = ( (t^2-t+1)/(t^2-2t+2), (t^2-t+1)(t-1)/(t^2-2t+2), 0 ).

R adalah proyeksi Q pada bidang EFGH. Bidang EFGH sejajar dengan ABCD, dan berjarak 1.
Jika A=(0,0,0), maka bidang ABCD adalah z=0. Bidang EFGH adalah z=1.

Q = (qx, qy, 0).
R = (qx, qy, 1).

Luas segitiga AQR. A=(0,0,0).
AQ = Q = (qx, qy, 0).
AR = R = (qx, qy, 1).

AQ x AR = det([[i,j,k],[qx,qy,0],[qx,qy,1]])
= i(qy) - j(qx) + k(qx*qy - qy*qx)
= (qy, -qx, 0).

|AQ x AR| = sqrt(qy^2 + qx^2).

Luas = 1/2 * sqrt(qx^2 + qy^2).

qx = (t^2 - t + 1) / (t^2 - 2t + 2).
qy = (t^2 - t + 1)(t-1) / (t^2 - 2t + 2).

qx^2 + qy^2 = [(t^2 - t + 1) / (t^2 - 2t + 2)]^2 + [(t^2 - t + 1)(t-1) / (t^2 - 2t + 2)]^2
= [(t^2 - t + 1) / (t^2 - 2t + 2)]^2 * [1 + (t-1)^2]
= [(t^2 - t + 1) / (t^2 - 2t + 2)]^2 * [1 + t^2 - 2t + 1]
= [(t^2 - t + 1) / (t^2 - 2t + 2)]^2 * [t^2 - 2t + 2]
= (t^2 - t + 1)^2 / (t^2 - 2t + 2).

Luas = 1/2 * sqrt((t^2 - t + 1)^2 / (t^2 - 2t + 2))
Luas = 1/2 * (t^2 - t + 1) / sqrt(t^2 - 2t + 2).

Ini masih bergantung pada t. Ada kemungkinan nilai t tertentu yang membuat soal ini sederhana, atau ada interpretasi yang berbeda.

Jika P adalah titik tengah BC, t=1/2. Maka PC = 1/2.
DP menghubungkan D=(0,1,0) dan P=(1, 1/2, 0). Vektor DP = (1, -1/2, 0).
Panjang DP = sqrt(1 + 1/4) = sqrt(5/4) = sqrt(5)/2.

Jika Q adalah proyeksi A=(0,0,0) pada DP. Vektor AP = (1, 1/2, 0).
AP.DP = (1, 1/2, 0).(1, -1/2, 0) = 1 - 1/4 = 3/4.
|DP|^2 = 5/4.
Q = ( (3/4) / (5/4) ) * DP = (3/5) * (1, -1/2, 0) = (3/5, -3/10, 0).
Ini salah, karena Q harus berada di garis DP, tetapi DP melalui D, bukan A.

Q adalah proyeksi A ke garis DP.

Jika kita lihat segitiga ADP. AD=1, DP = sqrt(1 + (t-1)^2). AP = sqrt(1 + t^2).

Luas segitiga AQR. A=(0,0,0).
Bidang EFGH adalah bidang z=1.
Q=(qx,qy,0).
R=(qx,qy,1).
Luas AQR = 1/2 * alas * tinggi. Kita bisa pakai alas AQ, tinggi adalah komponen z dari R yang tegak lurus AQ.
Atau alas AR, tinggi adalah komponen z dari Q.

Perhatikan segitiga siku-siku AQR. Siku-siku di Q jika AQ tegak lurus QR. QR adalah vektor vertikal.

Luas = 1/2 * |det(AQ, AR)|.
Ini adalah luas proyeksi segitiga AQR ke bidang xy dikali faktor skala.

Jika kita menggunakan vektor:
AD = (0,1,0). AB=(1,0,0). AE=(0,0,1).
A=(0,0,0).
D=(0,1,0).
B=(1,0,0).
C=(1,1,0).
P pada BC, |PC|=t. P = C + (B-C)*t/1 = (1,1,0) + (0,-1,0)*t = (1, 1-t, 0).

DP = P-D = (1, 1-t, 0).

Q adalah proyeksi A pada DP.
Vektor arah DP = (1, 1-t, 0).
Titik pada garis DP: D + k*DP = (0,1,0) + k(1, 1-t, 0) = (k, 1+k(1-t), 0).
Vektor AQ = (k, 1+k(1-t), 0).
AQ tegak lurus DP.
AQ.DP = k + (1+k(1-t))(1-t) = 0.
k + (1-t) + k(1-t)^2 = 0.
k(1+(1-t)^2) = -(1-t).
k = (t-1)/(1+(1-t)^2) = (t-1)/(1+(t-1)^2).

Q = ( (t-1)/(1+(t-1)^2), 1 + (t-1)/(1+(t-1)^2)*(1-t), 0 )
Q = ( (t-1)/(1+(t-1)^2), 1 - (t-1)^2/(1+(t-1)^2), 0 )
Q = ( (t-1)/(1+(t-1)^2), 1/(1+(t-1)^2), 0 ).

R adalah proyeksi Q pada bidang EFGH. Bidang EFGH adalah z=1.
R = ( (t-1)/(1+(t-1)^2), 1/(1+(t-1)^2), 1 ).

Luas segitiga AQR. A=(0,0,0).
AQ = Q = ( (t-1)/(1+(t-1)^2), 1/(1+(t-1)^2), 0 ).
AR = R = ( (t-1)/(1+(t-1)^2), 1/(1+(t-1)^2), 1 ).

Misalkan qx = (t-1)/(1+(t-1)^2) dan qy = 1/(1+(t-1)^2).
Q=(qx, qy, 0), R=(qx, qy, 1).

Luas = 1/2 * |vektor AQ x vektor AR|.
vektor AQ = (qx, qy, 0).
vektor AR = (qx, qy, 1).

AQ x AR = det([[i,j,k],[qx,qy,0],[qx,qy,1]])
= i(qy) - j(qx) + k(qx*qy - qy*qx)
= (qy, -qx, 0).

|AQ x AR| = sqrt(qy^2 + (-qx)^2) = sqrt(qy^2 + qx^2).

qy^2 + qx^2 = (1/(1+(t-1)^2))^2 + ((t-1)/(1+(t-1)^2))^2
= (1 + (t-1)^2) / (1+(t-1)^2)^2
= (1 + t^2 - 2t + 1) / (1 + t^2 - 2t + 1)^2
= (t^2 - 2t + 2) / (t^2 - 2t + 2)^2
= 1 / (t^2 - 2t + 2).

Luas = 1/2 * sqrt(1 / (t^2 - 2t + 2))
Luas = 1 / (2 * sqrt(t^2 - 2t + 2)).

Nilai t tidak diketahui. Kemungkinan ada kesalahan dalam soal atau ada informasi yang hilang.

Jika t=0, P=C. DP = (1, 1, 0). |DP| = sqrt(2). Q = (1/2, 1/2, 0). R=(1/2, 1/2, 1). A=(0,0,0).
Luas = 1 / (2 * sqrt(0 - 0 + 2)) = 1 / (2 * sqrt(2)) = sqrt(2)/4.

Jika t=1, P=B. DP = (1, 0, 0). |DP|=1. Q=(0, 1, 0) = D. R=(0,1,1). A=(0,0,0).
Luas = 1 / (2 * sqrt(1 - 2 + 2)) = 1 / (2 * sqrt(1)) = 1/2.

Jika t=1/2, P titik tengah BC. DP = (1, 1/2, 0). |DP| = sqrt(1+1/4) = sqrt(5)/2.
Q = ( (1/2-1)/(1+(1/2-1)^2), 1/(1+(1/2-1)^2), 0 ) = (-1/2 / (1+1/4), 1/(1+1/4), 0) = (-1/2 / (5/4), 1/(5/4), 0) = (-2/5, 4/5, 0).
R = (-2/5, 4/5, 1).
A = (0,0,0).
Luas = 1 / (2 * sqrt((1/2)^2 - 2(1/2) + 2)) = 1 / (2 * sqrt(1/4 - 1 + 2)) = 1 / (2 * sqrt(5/4)) = 1 / (2 * sqrt(5)/2) = 1/sqrt(5) = sqrt(5)/5.

Karena jawaban tidak spesifik, dan unit dm^3 salah, saya tidak bisa memberikan jawaban pasti. Dengan asumsi unit seharusnya dm^2, luasnya adalah 1 / (2 * sqrt(t^2 - 2t + 2)) dm^2.

Namun, jika kita melihat strukturnya, $t^2 - 2t + 2 = (t-1)^2 + 1$. Nilai minimumnya adalah 1 saat t=1.

Jika soalnya adalah mencari luas proyeksi segitiga A'B'C' pada bidang tertentu, itu bisa memberikan jawaban numerik.

Kemungkinan besar ada kesalahan dalam soal ini, baik dalam penulisan unit maupun nilai t yang tidak diberikan.

Jika kita berasumsi ada nilai t tertentu yang membuat luasnya sederhana, misalnya 1/2 dm^2 (ketika t=1).

Tanpa informasi lebih lanjut atau klarifikasi, saya tidak dapat menyelesaikan soal ini dengan jawaban numerik yang pasti.